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[2008年] (I)证明积分中值定理:若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,则至少存在一点η∈[a,b],使得f(x)dx=f(η)(b一a). (Ⅱ)若函数φ(x)具有二阶导数,且满足φ(2)>φ(1),φ(2)>∫23φ(x)dx,则至少存在一点
[2008年] (I)证明积分中值定理:若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,则至少存在一点η∈[a,b],使得f(x)dx=f(η)(b一a). (Ⅱ)若函数φ(x)具有二阶导数,且满足φ(2)>φ(1),φ(2)>∫23φ(x)dx,则至少存在一点
admin
2019-04-05
76
问题
[2008年] (I)证明积分中值定理:若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,则至少存在一点η∈[a,b],使得f(x)dx=f(η)(b一a).
(Ⅱ)若函数φ(x)具有二阶导数,且满足φ(2)>φ(1),φ(2)>∫
2
3
φ(x)dx,则至少存在一点ξ∈(1,3),使得φ″(ξ)<0.
选项
答案
利用介值定理证明(I),利用积分中值定理和拉格朗日中值定理证明(Ⅱ). 证 (I)设M和m分别为函数f(x)在区间[a,b]上的最大值及最小值,则 m(b一a)≤∫
a
b
f(x)dx≤M(b-a). 在以上不等式两边各除以b一a,得到 m≤[*]∫
a
b
f(x)dx≤M. 这表明确定的数[*]∫
a
b
f(x)dx介于函数f(x)的最小值m及最大值M之间.由闭区间上连续函数的介值定理知,在[a,b]上至少存在一点η,使得函数f(x)在点η处的值与这个确定的数值相等,即应有 [*]∫
a
b
f(x)dx=f(η) (a≤η≤b). 两端各乘以b-a,即得所要证的等式. (Ⅱ)由(I)的结论知,至少存在一点η∈[2,3],使 ∫
2
3
2φ(x)dx=φ(η)(3-2)=φ(η),2≤η≤3. 又由φ(2)>∫
2
3
φ(x)dx=φ(η),φ(2)>φ(1)知,对φ(x)分别在[1,2]及[2,η]上使用拉格朗日中值定理,得到 φ′(ξ
1
)=[*]>0, 1<ξ
1
<2, φ′(ξ
2
)=[*]<0, 2<ξ
2
<η≤3. 在[ξ
1
,ξ
2
]上对导函数φ′(x)使用拉格朗日中值定理,得到 φ″(ξ)=[*]<0, ξ∈(ξ
1
,ξ
2
)[*](1,3).
解析
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