2. 考研
  3. 设A=(α1,α2,…,αn)是s×n阶矩阵，b是s维非零列向量，以下选项中不能作为Ax=b有解的充要条件是( )。

设A=(α1,α2,…,αn)是s×n阶矩阵，b是s维非零列向量，以下选项中不能作为Ax=b有解的充要条件是( )。

admin2022-03-14  52
问题 设A=(α1,α2,…,αn)是s×n阶矩阵，b是s维非零列向量，以下选项中不能作为Ax=b有解的充要条件是(          )。
选项 A、b可以由向量组α1，α2，…，αn线性表示
B、向量组α1，α2，…，αn与向量组α1，α2，…，αn，b等价
C、矩阵方程AX=(A,b)有解
D、向量组α1，α2，…，αn，b线性相关
答案D
解析 ①Ax=b有解→存在不全为零的常数k1,k2,…,kn，使得b=k1α1+k2α2+…+knαn，即b可以由向量组α1,α2,…,αn线性表示。
②Ax=b有解→b可以由向量组α1,α2,…,αn线性表示→向量组α1,α2,…,αn，b可以由向量组α1,α2,…,αn线性表示。
又因为向量组α1,α2,…,αn可以由向量组α1,α2,…,αn,b线性表示，所以Ax=b有解→向量组α1,α2,…,αn与向量组α1,α2,…,αn，b等价。
③若Ax=b有解，则可设Aξ=b，于是A(E,ξ)=(A,b)，即AX=(A,b)有解，反过来，若AX=(A,b)有解，可设AB=(A,b)，于是取ξ为B的最后一列，这Aξ=b，即Ax=b有解。
④由①可知，当线性方程组Ax=b有解时，向量组α1,α2,…,αn，b线性相关，但反之未必。例如，取s=n=2,A=(α1,α2)=,则向量组α1,α2,b线性相关，但Ax=b无解。
综上可知，应选D。
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考研数学三

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