设A=(α1,α2,…,αn)是s×n阶矩阵,b是s维非零列向量,以下选项中不能作为Ax=b有解的充要条件是( )。

admin2022-03-14  40

问题 设A=(α12,…,αn)是s×n阶矩阵,b是s维非零列向量,以下选项中不能作为Ax=b有解的充要条件是(          )。

选项 A、b可以由向量组α1,α2,…,αn线性表示
B、向量组α1,α2,…,αn与向量组α1,α2,…,αn,b等价
C、矩阵方程AX=(A,b)有解
D、向量组α1,α2,…,αn,b线性相关

答案D

解析 ①Ax=b有解→存在不全为零的常数k1,k2,…,kn,使得b=k1α1+k2α2+…+knαn,即b可以由向量组α12,…,αn线性表示。
②Ax=b有解→b可以由向量组α12,…,αn线性表示→向量组α12,…,αn,b可以由向量组α12,…,αn线性表示。
又因为向量组α12,…,αn可以由向量组α12,…,αn,b线性表示,所以Ax=b有解→向量组α12,…,αn与向量组α12,…,αn,b等价。
③若Ax=b有解,则可设Aξ=b,于是A(E,ξ)=(A,b),即AX=(A,b)有解,反过来,若AX=(A,b)有解,可设AB=(A,b),于是取ξ为B的最后一列,这Aξ=b,即Ax=b有解。
④由①可知,当线性方程组Ax=b有解时,向量组α12,…,αn,b线性相关,但反之未必。例如,取s=n=2,A=(α12)=,则向量组α12,b线性相关,但Ax=b无解。
综上可知,应选D。
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