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  3. (Ⅰ)设ex+y=y确定y=y(x)，求y’，y’’； (Ⅱ)设函数y=f(x+y)，其中f具有二阶导数，且f’≠1，求

(Ⅰ)设ex+y=y确定y=y(x)，求y’，y’’； (Ⅱ)设函数y=f(x+y)，其中f具有二阶导数，且f’≠1，求

admin2018-06-27  55
问题 (Ⅰ)设ex+y=y确定y=y(x)，求y’，y’’；
(Ⅱ)设函数y=f(x+y)，其中f具有二阶导数，且f’≠1，求
选项
答案(Ⅰ)注意y是x的函数，将方程两端对x求导得 ex+y(1+y’)=y’，即y’=[*](这里用方程ex+y=y化简) 再将y’的表达式对x求导得 [*] 或将[*]的表达式，同样可求得[*] (Ⅱ)y=y(x)由方程f(x+y)-y=0确定，f为抽象函数，若把f(x+y)看成f(u)，而u=x+y， y=y(x)，则变成复合函数和隐函数的求导问题．注意，f(x+y)及其导函数f’(x+y)均是x的复合函数． 将y=f(x+y)两边对x求导，并注意y是x的函数，f是关于x的复合函数，有y’=f’.(1+y’)，即y’=[*](其中f’=f’(x+y))． 又由y’=(1+y’)f’再对x求导，并注意y’是x的函数，f’即f’(x+y)仍然是关于x的复合函数，有 y’’=(1+y’)’f’+(1+y’)(f’)’x =y’’f’+(1+y’)f’’.(1+y’)=y’’f’+(1+y’)2f’’， 将y’=[*]代入并解出y’’即得 [*] (其中f’=f’(x+y)，f’’=f’’(x+y))． 或直接由[*]再对x求导，同样可求得[*]
解析
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考研数学二

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