(05年)已知函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)=0,f(1)=1.证明: (I)存在ξ∈(0,1),使得f(ξ)=1一ξ; (Ⅱ)存在两个不同的点η,ζ∈(0,1),使得f’(η)f’(ζ)=1.

admin2018-07-27  32

问题 (05年)已知函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)=0,f(1)=1.证明:
(I)存在ξ∈(0,1),使得f(ξ)=1一ξ;
(Ⅱ)存在两个不同的点η,ζ∈(0,1),使得f’(η)f’(ζ)=1.

选项

答案(I)令g(x)=f(x)+x一1,则g(x)在[0,1]上连续,且 g(0)=一1<0,g(1)=1>0 所以存在ξ∈(0,1),使得 g(ξ)=f(ξ)+ξ一1=0 即 f(ξ)=1一ξ (Ⅱ)根据拉格朗日中值定理,存在η∈(0,ξ),ζ∈(ξ,1),使得 [*]

解析
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