(05年)已知函数f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)=0，f(1)=1．证明： (I)存在ξ∈(0，1)，使得f(ξ)=1一ξ； (Ⅱ)存在两个不同的点η，ζ∈(0，1)，使得f’(η)f’(ζ)=1．

admin2018-07-27 52

问题 (05年)已知函数f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)=0，f(1)=1．证明：
(I)存在ξ∈(0，1)，使得f(ξ)=1一ξ；
(Ⅱ)存在两个不同的点η，ζ∈(0，1)，使得f’(η)f’(ζ)=1．

选项

答案(I)令g(x)=f(x)+x一1，则g(x)在[0，1]上连续，且 g(0)=一1＜0，g(1)=1＞0 所以存在ξ∈(0，1)，使得 g(ξ)=f(ξ)+ξ一1=0 即 f(ξ)=1一ξ (Ⅱ)根据拉格朗日中值定理，存在η∈(0，ξ),ζ∈(ξ,1)，使得 [*]

解析

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