2. 考研
  3. 设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)＝f(b)＝0，．证明： 存在η∈(a，b)，使得f"(η)一3f’(η)＋2f(η)＝0．

设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)＝f(b)＝0，．证明： 存在η∈(a，b)，使得f"(η)一3f’(η)＋2f(η)＝0．

admin2015-07-24  41
问题 设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)＝f(b)＝0，．证明：
存在η∈(a，b)，使得f"(η)一3f’(η)＋2f(η)＝0．
选项
答案令g(x)＝e－xf(x)，g(a)＝g(c)＝g(b)＝0， 由罗尔定理，存在η1∈(a，c)，η2∈(c，b)，使得g’(η1)＝g’(η2)＝0， 而g’(x)＝e－x[f’(x)一f(x)]且e－x≠0，所以f’(η1)一f(η1)＝0，f’(η2)一f(η2)＝0． 令φ(x)＝e－2x[f’(x)一f(x)]，φ(η1)＝φ(η2)＝0， 由罗尔定理，存在η∈(η1，η2)[*](a，b)，使得φ’(η)＝0， 而φ’(x)＝e－2x[f"(x)一3f’(x)＋Zf(x)]且e－2x≠0， 所以f"(η)一3f’(η)＋2f(η)＝0．
解析
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考研数学一

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