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设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且f(a)=f(b)=0,.证明: 存在η∈(a,b),使得f"(η)一3f’(η)+2f(η)=0.
设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且f(a)=f(b)=0,.证明: 存在η∈(a,b),使得f"(η)一3f’(η)+2f(η)=0.
admin
2015-07-24
48
问题
设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且f(a)=f(b)=0,
.证明:
存在η∈(a,b),使得f"(η)一3f’(η)+2f(η)=0.
选项
答案
令g(x)=e
-x
f(x),g(a)=g(c)=g(b)=0, 由罗尔定理,存在η
1
∈(a,c),η
2
∈(c,b),使得g’(η
1
)=g’(η
2
)=0, 而g’(x)=e
-x
[f’(x)一f(x)]且e
-x
≠0,所以f’(η
1
)一f(η
1
)=0,f’(η
2
)一f(η
2
)=0. 令φ(x)=e
-2x
[f’(x)一f(x)],φ(η
1
)=φ(η
2
)=0, 由罗尔定理,存在η∈(η
1
,η
2
)[*](a,b),使得φ’(η)=0, 而φ’(x)=e
-2x
[f"(x)一3f’(x)+Zf(x)]且e
-2x
≠0, 所以f"(η)一3f’(η)+2f(η)=0.
解析
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