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设为正定矩阵,其中A,B分别为m阶,n阶对称矩阵,C为m×n矩阵. 利用第一问的结果判断矩阵B-CTA-1C是否为正定矩阵,并证明你的结论.
设为正定矩阵,其中A,B分别为m阶,n阶对称矩阵,C为m×n矩阵. 利用第一问的结果判断矩阵B-CTA-1C是否为正定矩阵,并证明你的结论.
admin
2021-11-09
96
问题
设
为正定矩阵,其中A,B分别为m阶,n阶对称矩阵,C为m×n矩阵.
利用第一问的结果判断矩阵B-C
T
A
-1
C是否为正定矩阵,并证明你的结论.
选项
答案
矩阵B-C
T
A
-1
C是正定矩阵. 由第一问的结果可知,矩阵D合同于矩阵 [*] 又D为正定矩阵,可知矩阵M为正定矩阵. 因矩阵M为对称矩阵,故B-C
T
A
-1
C为对称矩阵.对x=(0,0,…,0)
T
及任意的y=(y
1
,y
2
,…,y
n
)
T
≠0,有 [*] 即y
T
(B-C
T
A
-1
C)y>0,故B-C
T
A
-1
C为正定矩阵.
解析
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考研数学二
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