已知β1,β2是非齐次线性方程组Ax=b的两个不同的解,α1,α2是对应齐次线性方程组Ax=0的基础解系,k1,k2为任意常数,则方程组Ax=b的通解必是

admin2019-05-15  33

问题 已知β1,β2是非齐次线性方程组Ax=b的两个不同的解,α1,α2是对应齐次线性方程组Ax=0的基础解系,k1,k2为任意常数,则方程组Ax=b的通解必是

选项 A、k1α1+k212)+(β12)/2.
B、k1α1+k212)+(β12)/2.
C、k1α1+k212)+(β12)/2.
D、k1α1+k212)+(β12)/2.

答案B

解析 本题考查解的性质与解的结构.从α1,α2是Ax=0的基础解系,知Ax=b的通解形式为
k1η1+k2η1+ξ,
其中,η1,η2是Ax=0的基础解系,ξ是Ax=b的解.
由解的性质知:α1,α12,(β12)/2,α1212都是Ax=0的解,(β12)是Ax=b的解.
那么(A)中没有特解ξ,(C)中既没有特解ξ,且β12也不是Ax=0的解.(D)中虽有特解,但
α1,β12的线性相关性不能判定,故(A)、(C)、(D)均不正确.
唯(B)中,(β12)/2是Ax=b的解,α1,α12是Ax=0的线性无关的解,是基础解系.故应选(B).
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