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(05年)设X1,X2,…,Xn(n>2)为来自总体N(0,σ2)的简单随机样本,其样本均值为.记Yi=Xi-,i=1,2,…,n. 求:(Ⅰ)求Yi的方差DYi,i=1,2,…,n; (Ⅱ)求Y1与Yn的协方差Cov(Y1,Yn);
(05年)设X1,X2,…,Xn(n>2)为来自总体N(0,σ2)的简单随机样本,其样本均值为.记Yi=Xi-,i=1,2,…,n. 求:(Ⅰ)求Yi的方差DYi,i=1,2,…,n; (Ⅱ)求Y1与Yn的协方差Cov(Y1,Yn);
admin
2017-05-26
27
问题
(05年)设X
1
,X
2
,…,X
n
(n>2)为来自总体N(0,σ
2
)的简单随机样本,其样本均值为
.记Y
i
=X
i
-
,i=1,2,…,n.
求:(Ⅰ)求Y
i
的方差DY
i
,i=1,2,…,n;
(Ⅱ)求Y
1
与Y
n
的协方差Cov(Y
1
,Y
n
);
(Ⅲ)若c(Y
1
+Y
n
)
2
是σ
2
的无偏估计量,求常数c.
选项
答案
[*] (Ⅲ)由题意,E[c(Y
1
+Y
n
)
2
]=σ
2
. 而E[c(Y
1
+Y
2
)
2
]=c[E(Y
1
)
2
+E(Y
n
)
2
+2E(Y
1
Y
n
)] 而E(Y
1
)=E(X
1
-[*])=E(X
1
)-E([*])=0-0=0,∴E(Y
1
)
2
=DY
1
+E(Y
1
)
2
=DY
1
=[*], 同理E(Y
n
)
2
=[*]. 又E(Y
1
Y
n
)=Cov(Y
1
,Y
n
)+E(Y
1
)E(y
n
)=Cov(Y
1
,Y
n
)=-[*]σ
2
故得σ
2
=E[c(Y
1
+Y
n
)
2
]=[*], ∴c=[*].
解析
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考研数学三
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