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已知λ1,λ2,λ3是A的特征值,α1 ,α2,α3是相应的特征向量且线性无关。证明:如α1+α2+α3仍是A的特征向量,则λ1=λ2=λ3。
已知λ1,λ2,λ3是A的特征值,α1 ,α2,α3是相应的特征向量且线性无关。证明:如α1+α2+α3仍是A的特征向量,则λ1=λ2=λ3。
admin
2019-02-26
55
问题
已知λ
1
,λ
2
,λ
3
是A的特征值,α
1
,α
2
,α
3
是相应的特征向量且线性无关。证明:如α
1
+α
2
+α
3
仍是A的特征向量,则λ
1
=λ
2
=λ
3
。
选项
答案
若α
1
+α
2
+α
3
是矩阵A属于特征值A的特征向量,则 A(α
1
+α
2
+α
3
)=λ(α
1
+α
2
+α
3
)。 又A(α
1
+α
2
+α
3
)=Aα
1
+Aα
2
+Aα
3
=λα
1
+λα
2
+λα
3
,于是有 (λ-λ
1
)α
1
+(λ-λ
2
)α
2
+(λ-λ
3
)α
3
=0。 因为α
1
,α
2
,α
3
线性无关,故λ-λ
1
=0,λ-λ
2
=0,λ-λ
3
=0,即λ
1
=λ
2
=λ
3
。
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/zH04777K
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考研数学一
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