已知λ1,λ2,λ3是A的特征值,α1 ,α2,α3是相应的特征向量且线性无关。证明:如α1+α2+α3仍是A的特征向量,则λ1=λ2=λ3。

admin2019-02-26  39

问题 已知λ1,λ2,λ3是A的特征值,α1 ,α2,α3是相应的特征向量且线性无关。证明:如α123仍是A的特征向量,则λ123

选项

答案若α123是矩阵A属于特征值A的特征向量,则 A(α123)=λ(α123)。 又A(α123)=Aα1+Aα2+Aα3=λα1+λα2+λα3,于是有 (λ-λ11+(λ-λ22+(λ-λ33=0。 因为α1,α2,α3线性无关,故λ-λ1=0,λ-λ2=0,λ-λ3=0,即λ123

解析
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