已知二次型 f(x1，x2，x3)=x12+x22+x32-4x1x2-4x1x3+2ax2x3 通过正交变换x=Py化成标准形f=3y12+3y22+by32，求参数a，b及正交矩阵P。

admin2018-01-26 46

问题已知二次型
f(x₁，x₂，x₃)=x₁²+x₂²+x₃²-4x₁x₂-4x₁x₃+2ax₂x₃
通过正交变换x=Py化成标准形f=3y₁²+3y₂²+by₃²，求参数a，b及正交矩阵P。

选项

答案由题意，二次型f及其标准形的矩阵分别是 [*] 在正交变换下A与Λ相似，故有 [*] =-2(a+2)²=0，解得a=-2，b=-3。于是，矩阵A的特征值是3，3，-3。当λ=3时，由(3E-A)x=0，系数矩阵 [*] 得基础解系α₁=(-1，1，0)^t，α₂=(-1，0，1)^T，即λ=3有两个线性无关的特征向量。当λ=-3时，由(-3E-A)x=0，系数矩阵 [*] 得基础解系α₃=(1，1，1)^T，即λ=-3的特征向量。由于λ=3的特征向量α₁，α₂不正交，故需施密特正交化。令β₁=α₁=[*]，则 β₂=α₂-([α₂，β₁]／[β₁，β₁])β=[*] 将三个特征向量单位化，有 [*] 那么，所用坐标变换x=Py中，正交矩阵 P=(γ₁，γ₂，γ₃)=[*]

解析

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考研数学一

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