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已知二次型 f(x1,x2,x3)=x12+x22+x32-4x1x2-4x1x3+2ax2x3 通过正交变换x=Py化成标准形f=3y12+3y22+by32,求参数a,b及正交矩阵P。
已知二次型 f(x1,x2,x3)=x12+x22+x32-4x1x2-4x1x3+2ax2x3 通过正交变换x=Py化成标准形f=3y12+3y22+by32,求参数a,b及正交矩阵P。
admin
2018-01-26
51
问题
已知二次型
f(x
1
,x
2
,x
3
)=x
1
2
+x
2
2
+x
3
2
-4x
1
x
2
-4x
1
x
3
+2ax
2
x
3
通过正交变换x=Py化成标准形f=3y
1
2
+3y
2
2
+by
3
2
,求参数a,b及正交矩阵P。
选项
答案
由题意,二次型f及其标准形的矩阵分别是 [*] 在正交变换下A与Λ相似,故有 [*] =-2(a+2)
2
=0, 解得a=-2,b=-3。 于是,矩阵A的特征值是3,3,-3。 当λ=3时,由(3E-A)x=0,系数矩阵 [*] 得基础解系α
1
=(-1,1,0)
t
,α
2
=(-1,0,1)
T
,即λ=3有两个线性无关的特征向量。 当λ=-3时,由(-3E-A)x=0,系数矩阵 [*] 得基础解系α
3
=(1,1,1)
T
,即λ=-3的特征向量。 由于λ=3的特征向量α
1
,α
2
不正交,故需施密特正交化。 令β
1
=α
1
=[*],则 β
2
=α
2
-([α
2
,β
1
]/[β
1
,β
1
])β=[*] 将三个特征向量单位化,有 [*] 那么,所用坐标变换x=Py中,正交矩阵 P=(γ
1
,γ
2
,γ
3
)=[*]
解析
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考研数学一
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