已知二次型 f(x1，x2，x3)=x12+x22+x32-4x1x2-4x1x3+2ax2x3 通过正交变换x=Py化成标准形f=3y12+3y22+by32，求参数a，b及正交矩阵P。

admin2018-01-26 67

问题已知二次型
f(x₁，x₂，x₃)=x₁²+x₂²+x₃²-4x₁x₂-4x₁x₃+2ax₂x₃
通过正交变换x=Py化成标准形f=3y₁²+3y₂²+by₃²，求参数a，b及正交矩阵P。

选项

答案由题意，二次型f及其标准形的矩阵分别是 [*] 在正交变换下A与Λ相似，故有 [*] =-2(a+2)²=0，解得a=-2，b=-3。于是，矩阵A的特征值是3，3，-3。当λ=3时，由(3E-A)x=0，系数矩阵 [*] 得基础解系α₁=(-1，1，0)^t，α₂=(-1，0，1)^T，即λ=3有两个线性无关的特征向量。当λ=-3时，由(-3E-A)x=0，系数矩阵 [*] 得基础解系α₃=(1，1，1)^T，即λ=-3的特征向量。由于λ=3的特征向量α₁，α₂不正交，故需施密特正交化。令β₁=α₁=[*]，则 β₂=α₂-([α₂，β₁]／[β₁，β₁])β=[*] 将三个特征向量单位化，有 [*] 那么，所用坐标变换x=Py中，正交矩阵 P=(γ₁，γ₂，γ₃)=[*]

解析

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考研数学一

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已知二次型 f(x1，x2，x3)=x12+x22+x32-4x1x2-4x1x3+2ax2x3 通过正交变换x=Py化成标准形f=3y12+3y22+by32，求参数a，b及正交矩阵P。

考研数学一

求微分方程xy’+y=xex满足y(1)=1的特解．

微分方程的通解为_________．

设有两个非零矩阵A=[a1，a2，…，an]T，B=[b1，b2，…，bn]T．设C=E—ABT，其中E为n阶单位阵．证明：CTC=E一BAT—ABT+BBT的充要条件是ATA=1．

已知r(A)=r1，且方程组Ax=α有解r(B)=r2，=R(B)=R2无解，设A=[α1，α2，…，αN]，B=[β1β2……βn]，且r(α1,α2……αn，β1β2……βn，β)=r，则()

已知A是m×n矩阵，r(A)=r＜min{m，n)，则A中必()

设α1,α2,α3均为线性方程组Ax=b的解，下列向量中α1－α2，α1－2α2+α3，(α1一α3)，α1+3α2－4α3，是导出组Ax=0的解向量的个数为()

设Am×n，r(A)=m，Bn×(n－m)，r(B)=n一m，且满足关系AB=O．证明：若η是齐次线性方程组AX=0的解，则必存在唯一的ξ，使得Bξ=η．

已知线性方程组a，b为何值时，方程组有解；

曲线y=的斜渐近线方程为_________．

有30个2克的砝码和8个5克的砝码，如果砝码只能放一边，那么从2克到100克间的整数克质量，有多少个不能用这些砝码称量出来?

肺痈成痈期的治法

连结“肺主呼吸”和“心主血脉”的中心环节是

张小姐，20岁，恶心、呕吐，上腹部疼痛数小时后转为右下腹痛，体温38℃，右下腹有固定压痛点，有腹肌紧张及反跳痛，白细胞15×109/L，首先考虑诊断是

在合同规定的时间内，未进行货物验收，或在检验后未在合同规定的时间内提出异议，即视为()。

适用于室内饰面层、建筑物门厅及建筑物外饰面层的建筑装饰玻璃是()。

执行以下程序段后，(BX)=(　　　)。　　　　　　　MOV　AX，0　　　　　　　MOV　BX，1　　　　　　　MOV　CX，100　　　　A：ADD　AX，BX　　　　　　　INC　BX　　　　　　　LOO　PA　　　　　　　HLT

A、Filedpotatoes.B、Tomatojuice.C、Sweetcom.D、Chocolatebeans.D

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适用于室内饰面层、建筑物门厅及建筑物外饰面层的建筑装饰玻璃是()。

执行以下程序段后，(BX)=( )。 MOV AX，0 MOV BX，1 MOV CX，100 A：ADD AX，BX INC BX LOO PA HLT

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执行以下程序段后，(BX)=(　　　)。　　　　　　　MOV　AX，0　　　　　　　MOV　BX，1　　　　　　　MOV　CX，100　　　　A：ADD　AX，BX　　　　　　　INC　BX　　　　　　　LOO　PA　　　　　　　HLT　