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  3. 已知α1，α2，α3，α4是3维非零向量，则下列命题中错误的是( )

已知α1，α2，α3，α4是3维非零向量，则下列命题中错误的是( )

admin2018-01-26  28
问题 已知α1，α2，α3，α4是3维非零向量，则下列命题中错误的是(    )
选项 A、如果α4不能由α1，α2，α3线性表出，则α1，α2，α3线性相关。
B、如果α1，α2，α3线性相关，α2，α3，α4线性相关，那么α1，α2，α4也线性相关。
C、如果α3不能由α1，α2线性表出，α4不能由α2，α3线性表出，则α1可以由α2，α3，α4线性表出。
D、如果秩R(α1，α+α，α+α)=R(α4，α1+α4，α2+α4，α3+α4)，则α4可以由α1，α2，α3线性表出。
答案B
解析 设α1=(1，0，0)T，α2=(0，1，0)T，α3=(0，2，0)T，α4=(0，0，1)T，可知(B)不正确。应选(B)。
    关于(A)：用其逆否命题判断。若α1，α2，α3线性无关，则α1，α2，α3，α4必线性相关(因为n+1个n维向量必线性相关)，所以α4可由α1，α2，α3线性表出。
    关于(C)由已知条件，有
    (Ⅰ)R(α1，α2)≠R(α1，α2，α3)，(Ⅱ)R(α2，α3)≠R(α2，α3，α4)。
    若R(α2，α3)=1，则必有R(α1，α2)=R(α1，α2，α3)，与条件(Ⅰ)矛盾，故必有R(α2，α3)=2。
  那么由(Ⅱ)知R(α2，α3，α4)=3，从而R(α1，α2，α3，α4)=3。因此α1可以由α2，α3，α4线性表出。
    关于(D)：经初等变换有
    (α1，α1+α2，α2+α3)→(α1，α2，α2+α3)→(α1，α2，α3)，
    (α4，α1+α4，α2+α4，α3+α4)→(α4，α1，α2，α3)→(α1，α2，α3，α4)，
  从而R(α1，α2，α3)=R(α1，α2，α3，α4)，因此α4可以由α1，α2，α3线性表出。
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