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计算曲面积分 xz2dydz+x2ydzdx+y2zdxdy, 其中S是球面x2+y2+z2=a2的上半部分与平面z=0所围成的闭曲面外侧.
计算曲面积分 xz2dydz+x2ydzdx+y2zdxdy, 其中S是球面x2+y2+z2=a2的上半部分与平面z=0所围成的闭曲面外侧.
admin
2016-11-03
59
问题
计算曲面积分
xz
2
dydz+x
2
ydzdx+y
2
zdxdy,
其中S是球面x
2
+y
2
+z
2
=a
2
的上半部分与平面z=0所围成的闭曲面外侧.
选项
答案
因P=xz
2
,Q=x
2
y,R=y
2
z,故 [*] 由高斯公式得 [*](xz
2
dydz+x
2
ydzdx+y
2
zdxdy)=[*](x
2
+y
2
+z
2
)dxdydz. 因积分区域由球面所围成,且被积函数中含有x
2
+y
2
+z
2
因子,用球坐标系计算较简,故 [*]xz
2
dydz+x
2
ydzdx+y
2
zdxdy=[*]
解析
由题设知,积分曲面S为闭曲面,且在S所围成的闭区域Ω内P,Q,R具有一阶连续偏导数,可利用下述高斯公式计算:
(S取外侧,取正号;取内侧,取负号)
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考研数学一
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