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计算曲面积分 xz2dydz+x2ydzdx+y2zdxdy， 其中S是球面x2+y2+z2=a2的上半部分与平面z=0所围成的闭曲面外侧．
计算曲面积分 xz2dydz+x2ydzdx+y2zdxdy， 其中S是球面x2+y2+z2=a2的上半部分与平面z=0所围成的闭曲面外侧．
admin
2016-11-03
30
问题
计算曲面积分
xz
2
dydz+x
2
ydzdx+y
2
zdxdy，
其中S是球面x
2
+y
2
+z
2
=a
2
的上半部分与平面z=0所围成的闭曲面外侧．
选项
答案
因P=xz
2
，Q=x
2
y，R=y
2
z，故 [*] 由高斯公式得 [*](xz
2
dydz+x
2
ydzdx+y
2
zdxdy)=[*](x
2
+y
2
+z
2
)dxdydz． 因积分区域由球面所围成，且被积函数中含有x
2
+y
2
+z
2
因子，用球坐标系计算较简，故 [*]xz
2
dydz+x
2
ydzdx+y
2
zdxdy=[*]
解析
由题设知，积分曲面S为闭曲面，且在S所围成的闭区域Ω内P，Q，R具有一阶连续偏导数，可利用下述高斯公式计算：
(S取外侧，取正号；取内侧，取负号)
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/zHu4777K
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考研数学一
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