计算曲面积分 xz2dydz+x2ydzdx+y2zdxdy，其中S是球面x2+y2+z2=a2的上半部分与平面z=0所围成的闭曲面外侧．

admin2016-11-03 53

问题计算曲面积分

xz²dydz+x²ydzdx+y²zdxdy，
其中S是球面x²+y²+z²=a²的上半部分与平面z=0所围成的闭曲面外侧．

选项

答案因P=xz²，Q=x²y，R=y²z，故 [*] 由高斯公式得 [*](xz²dydz+x²ydzdx+y²zdxdy)=[*](x²+y²+z²)dxdydz．因积分区域由球面所围成，且被积函数中含有x²+y²+z²因子，用球坐标系计算较简，故 [*]xz²dydz+x²ydzdx+y²zdxdy=[*]

解析由题设知，积分曲面S为闭曲面，且在S所围成的闭区域Ω内P，Q，R具有一阶连续偏导数，可利用下述高斯公式计算：

(S取外侧，取正号；取内侧，取负号)

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