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  3. 设函数f(u)具有二阶连续导数，z=f(excos y)满足=(4z+excos y)e2x．若f((0)=0,f’(0)=0，求f(u)的表达式．

设函数f(u)具有二阶连续导数，z=f(excos y)满足=(4z+excos y)e2x．若f((0)=0,f’(0)=0，求f(u)的表达式．

admin2022-09-08  40
问题 设函数f(u)具有二阶连续导数，z=f(excos y)满足=(4z+excos y)e2x．若f((0)=0,f’(0)=0，求f(u)的表达式．
选项
答案由z=f(excos y)得[*]=f’(excos y)·(-exsin y)， 　　[*]=f”(excos y)·excos y·excos y+f’(excos y)·excos y 　　=f”(excos y)·e2xcos2y+f’(excos y)·excos y， 　　[*]=f”(excos y)·(-exsin y)·(-exsin y)+f’(excos y)·(-excos y)=f”(excos y)·e2xsin2y-f’(e2xcos y)·e2xcos y． 　　由[*]=(4z+excos y)e2x，代入得 　　 f”(excos y)·e2x=[4f(excos y)+excos y]e2x， 　　即 f”(excos y)-4f(excos y)=excos y， 　　令excos y=u，得f”(u)-4f(u)=u． 　　特征方程为λ2-4=0，解得λ=±2，得齐次方程通解[*]=C1 e2u+C2e-2u. 　　设特解y*=au+b，代入方程得a=-1/4，b=0，得特解y*=[*]。 　　则原方程通解为y=f(u)=C1e2u+C2e-2u-[*]。 　　由f(0)=0,f’(0)=0，得C1=1/16，C2=-1/16，则 　　[*]。
解析
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考研数学一

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