[2003年] 设函数y=y(x)在(一∞,+∞)内具有二阶导数,且y′≠0,x=x(y)是y=y(x)的反函数. 求变换后的微分方程满足初始条件y(0)=0,y′(0)=3/2的解.

admin2019-05-10  61

问题 [2003年]  设函数y=y(x)在(一∞,+∞)内具有二阶导数,且y′≠0,x=x(y)是y=y(x)的反函数.
求变换后的微分方程满足初始条件y(0)=0,y′(0)=3/2的解.

选项

答案方程①所对应的齐次方程y"一y=0的通解为y=C1ex+C2e-x. 设方程①的特解为y"=A cosx+B sinx,代入方程①求得A=0,B=一1/2, 故y*=一(1/2)sinx,从而y"一y=sinx的通解是 y(x)=C1ex+C2e-x一(1/2)sinx. 由y(0)=0,y′(0)=3/2,得C1=1,C2=一1,故所求初值问题的解为 y(x)=ex=e-x一(1/2)sinx.

解析
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