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  3. 设幂级数anxn在(-∞，+∞)内收敛，其和函数y(x)满足y’’-2xy’-4y=0，且y(0)=0，y’(0)=1． 证明：an+2=，n=1，2，3，…；

设幂级数anxn在(-∞，+∞)内收敛，其和函数y(x)满足y’’-2xy’-4y=0，且y(0)=0，y’(0)=1． 证明：an+2=，n=1，2，3，…；

admin2016-01-23  49
问题 设幂级数anxn在(-∞，+∞)内收敛，其和函数y(x)满足y’’-2xy’-4y=0，且y(0)=0，y’(0)=1．
证明：an+2=，n=1，2，3，…；
选项
答案因幂级数在(-∞，+∞)内收敛，故其和函数y(x)在(-∞，+∞)内任意阶可导，故有 y’=[*] (n+2)(n+1)an+2xn， 于是得 y’’-2xy’-4y=[*]=2a2-4a0+[*][(n+2)(n+1)n+2-2(n+2)an]xn=0． 由y(x)=[*]anxn及y(0)=0
解析 本题主要考查幂级数的运算性质．将幂级数代人题设条件中的微分方程，化简整理后可得．
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考研数学一

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