设幂级数anxn在(-∞，+∞)内收敛，其和函数y(x)满足y’’-2xy’-4y=0，且y(0)=0，y’(0)=1．证明：an+2=，n=1，2，3，…；

admin2016-01-23 69

问题设幂级数

a_nxⁿ在(-∞，+∞)内收敛，其和函数y(x)满足y’’-2xy’-4y=0，且y(0)=0，y’(0)=1．
证明：a_n+2=

，n=1，2，3，…；

选项

答案因幂级数在(-∞，+∞)内收敛，故其和函数y(x)在(-∞，+∞)内任意阶可导，故有 y’=[*] (n+2)(n+1)a_n+2xⁿ，于是得 y’’-2xy’-4y=[*]=2a₂-4a₀+[*][(n+2)(n+1)_n+2-2(n+2)a_n]xⁿ=0．由y(x)=[*]a_nxⁿ及y(0)=0

解析本题主要考查幂级数的运算性质．将幂级数代人题设条件中的微分方程，化简整理后可得．

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