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设f(x)二阶可导,f(0)=f(1)=0且.证明:存在ξ∈(0,1),使得f"(ξ)≥8.
设f(x)二阶可导,f(0)=f(1)=0且.证明:存在ξ∈(0,1),使得f"(ξ)≥8.
admin
2021-11-25
154
问题
设f(x)二阶可导,f(0)=f(1)=0且
.证明:存在ξ∈(0,1),使得f"(ξ)≥8.
选项
答案
因为f(x)在[0,1]上二阶可导,所以f(x)在[0,1]上连续且f(0)=f(1)=0,[*], 由闭区间上连续函数最值定理可知,f(x)在[0,1]上取到最小值且最小值在(0,1)内达到,即存在c∈(0,1),使得f(c)=-1,再由费马定理知f’(c)=0 根据泰勒公式, [*] 所以存在ξ∈(0,1),使得f"(ξ)≥8.
解析
在使用泰勒中值定理时,若已知条件中给出某点的一阶导数,则函数在该点展开;若结论中是关于某点的一阶导数,则在该点展开;若既为给出某点的一阶导数的条件,结论中又不涉及某点的一阶导数,往往函数在区间的中点处展开。
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考研数学二
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