设f(x)二阶可导，f(0)=f(1)=0且.证明：存在ξ∈（0,1）,使得f"(ξ)≥8.

admin2021-11-25 39

问题设f(x)二阶可导，f(0)=f(1)=0且

.证明：存在ξ∈（0,1）,使得f"(ξ)≥8.

选项

答案因为f(x)在[0,1]上二阶可导，所以f(x)在[0,1]上连续且f(0)=f(1)=0,[*], 由闭区间上连续函数最值定理可知，f(x)在[0,1]上取到最小值且最小值在（0,1）内达到，即存在c∈(0,1),使得f(c）=－1，再由费马定理知f’(c)=0 根据泰勒公式， [*] 所以存在ξ∈（0,1），使得f"(ξ)≥8.

解析在使用泰勒中值定理时，若已知条件中给出某点的一阶导数，则函数在该点展开；若结论中是关于某点的一阶导数，则在该点展开；若既为给出某点的一阶导数的条件，结论中又不涉及某点的一阶导数，往往函数在区间的中点处展开。

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