已知函数f(x)在[0,3π/2]上连续,在(0,3π/2)内是函数的一个原函数,f(0)=0. (I)求f(x)在区间[0,3π/2]上的平均值; (Ⅱ)证明f(x)在区间(0,3π/2)内存在唯一零点.

admin2022-09-22  41

问题 已知函数f(x)在[0,3π/2]上连续,在(0,3π/2)内是函数的一个原函数,f(0)=0.
    (I)求f(x)在区间[0,3π/2]上的平均值;
    (Ⅱ)证明f(x)在区间(0,3π/2)内存在唯一零点.

选项

答案(I)由题设可得 ∫0xf’(x)dx=f(x)-f(0)=∫0x[*]dt,x∈(0,3π/2). 又f(0)=0,因此f(x)=∫0x[*]dt,则在区间[0,3π/2]上,f(x)的平均值为 [*] (Ⅱ)由题设可知f’(x)=[*],x∈(0,3π/2). 当0<x<π/2时,f’(x)<0.可知在(0,π/2)上,f(x)单调递减. 而f(0)=0,知x∈(0,π/2]时,f(x)<0,因此f(x)在(0,π/2]内无零点,且f(π/2)<0. 当π/2<x<3π/2时,f’(x)>0,可知在x∈(π/2,3π/2)时,f(x)单调递增. 由于f(x)在闭区间[0,3π/2]上连续,再结合(I)中结果,由积分中值定理可知,至少存在一点x0∈[0,3π/2],使得f(x0)=1/3π>0. 而当x∈(0,π/2]时,f(x)<0,可知x0∈(π/2,3π/2]. 当x∈(π/2,3π/2)时,f(x)单调递增,可知x0唯一. 由f(π/2)<0,f(x0)>0,f(x)在(π/2,3π/2)上单调递增,结合连续函数的介值定理,可知存在唯一零点ξ∈(π2/,x0)[*](π/2,3π/2),使得f(ξ)=0. 综上所述,f(x)在区间(0,3π/2)内存在唯一零点.

解析
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