计算I=(x+y+z)dxdydz，其中Ω为三个坐标平面与平面x+y+z=1所围成的区域．

admin2022-07-21 56

问题计算I=

(x+y+z)dxdydz，其中Ω为三个坐标平面与平面x+y+z=1所围成的区域．

选项

答案先一后二区域Ω关于变量x，y，z具有轮换对称性，故[*]．将Ω投影在xOy面上，其投影区域D为由直线x=0，y=0，x+y=1围成的三角形，即D：0≤x≤1，0≤y≤1-x，在D内任取一点(x，y)，过(x，y)作垂直于xOy面的直线，交Ω的上方边界为z=1-x-y，下方边界为z=0，于是 I=[*]∫₀^1-x-yxdz=3∫₀¹dx∫₀^1-xdy∫₀^1-x-yxdz =3∫₀¹dx∫₀^1-x(1-x-y)dy=[*]x(1-x)²dx=1/8

解析

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