已知A=，二次型f(x1，x2，x3)=xT(ATA)x的秩为2。 (Ⅰ)求实数a的值； (Ⅱ)求正交变换x=Qy，将f化为标准形。

admin2021-01-25 59

问题已知A=

，二次型f(x₁，x₂，x₃)=x^T(A^TA)x的秩为2。
(Ⅰ)求实数a的值；
(Ⅱ)求正交变换x=Qy，将f化为标准形。

选项

答案(Ⅰ)A^TA=[*]，由r(A^TA)=2，可得 [*]=(a+1)²(a²+3)=0，可知a=一1。 (Ⅱ) f=x^TA^TAx=(x₁，x₂，x₃)[*] =2x₁²+2x₂²+4x₃²+4x₁x₂+4x₃x₃，令矩阵 [*] 解得B矩阵的特征值为λ₁=0；λ₂=2；λ₃=6。对于λ₁=0，解(λ₁E—B)x=0得对应的特征向量为η₁=[*]；对于λ₂=2，解(λ₁E—B)x=0得对应的特征向量为η₂=[*]；对于λ₃=6，解(λ₃E—B)x=0得对应的特征向量为η₃=[*]。将η₁，η₂，η₃单位化可得 [*] 令x=Qy可将原二次型化为2y₂²+6y₃²。

解析

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考研数学三

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