2. 考研
  3. 已知A=，二次型f(x1，x2，x3)=xT(ATA)x的秩为2。 (Ⅰ)求实数a的值； (Ⅱ)求正交变换x=Qy，将f化为标准形。

已知A=，二次型f(x1，x2，x3)=xT(ATA)x的秩为2。 (Ⅰ)求实数a的值； (Ⅱ)求正交变换x=Qy，将f化为标准形。

admin2021-01-25  92
问题 已知A=，二次型f(x1，x2，x3)=xT(ATA)x的秩为2。
    (Ⅰ)求实数a的值；
    (Ⅱ)求正交变换x=Qy，将f化为标准形。
选项
答案(Ⅰ)ATA=[*]，由r(ATA)=2，可得 [*]=(a+1)2(a2+3)=0， 可知a=一1。 (Ⅱ) f=xTATAx=(x1，x2，x3)[*] =2x12+2x22+4x32+4x1x2+4x3x3， 令矩阵 [*] 解得B矩阵的特征值为λ1=0；λ2=2；λ3=6。 对于λ1=0，解(λ1E—B)x=0得对应的特征向量为η1=[*]； 对于λ2=2，解(λ1E—B)x=0得对应的特征向量为η2=[*]； 对于λ3=6，解(λ3E—B)x=0得对应的特征向量为η3=[*]。 将η1，η2，η3单位化可得 [*] 令x=Qy可将原二次型化为2y22+6y32。
解析
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考研数学三

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