交换积分次序：∫-10dy∫21-yf(x,y)dx=________。

admin2022-10-08 52

问题交换积分次序：∫_-1⁰dy∫₂^1-yf(x,y)dx=________。

选项

答案∫₁²dx∫₀^1-xf(x,y)dy

解析 ∫_-1⁰dy∫₂^1-yf(x,y)dx=－∫_-1⁰dy∫_1-y²f(x,y)dx
积分区域D为
D={(x,y)|－1≤y≤0,1－y≤x≤2}
如图所示，又可将区域D改写为
D={(x,y)|1≤x≤2,1－x≤y≤0}
于是有
∫_-1⁰dy∫₂^1-yf(x,y)dx
=－∫_-1⁰dy∫_1-y²f(x,y)dx
=－∫₁²dx∫_1-x⁰f(x,y)dy
=∫₁²dx∫₀^1-xf(x,y)dy

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