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《普通高中数学课程标准(2017年版)》对“导数的概念及其意义”提出的学习要求为: ①通过案例分析,经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程,了解导数概念的实际背景,知道导数是关于瞬时变化率的数学表达,体会导数的内涵与思想; ②体会极限思想;
《普通高中数学课程标准(2017年版)》对“导数的概念及其意义”提出的学习要求为: ①通过案例分析,经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程,了解导数概念的实际背景,知道导数是关于瞬时变化率的数学表达,体会导数的内涵与思想; ②体会极限思想;
admin
2020-08-12
52
问题
《普通高中数学课程标准(2017年版)》对“导数的概念及其意义”提出的学习要求为:
①通过案例分析,经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程,了解导数概念的实际背景,知道导数是关于瞬时变化率的数学表达,体会导数的内涵与思想;
②体会极限思想;
③通过函数图像直观理解导数的几何意义。
请针对“导数的概念及其意义”,以达到学习要求①为目的,完成下列教学设计:
写出教学过程(只要求写出新课导入,概念的形成与巩固等过程)及设计意图。
选项
答案
教学过程 一、新知导入 创设问题情境:经调查发现,在高台跳水中,运动员相对于水面的高度h(单位:m)与起跳后的时间t(单位:s)存在的函数关系为h(t)=-4.9t
2
+6.5t+10,如果用运动员在某段时间内的平均速度v描述其运动状态,那么在1≤t≤2这段时间里,v的值是多少? 预留时间让学生利用旧知进行求解,之后教师订正:v=[h(2)-h(1)]/(2-1)=-8.2(m/s)。 教师明确“平均变化率”的定义(课件展示): ①若将题目中的函数关系用y=f(x)表示,那么问题中的变化率即为[f(x
2
)-f(x
1
)]/(x
2
-x
1
),称此式为函数y=f(x)从x
1
到x
2
的平均变化率。 ②一般习惯用△x表示x
2
-x
1
,即△x=x
2
-x
1
,可把△x看作相对于x
1
的一个增量,用x
1
+△x代替x
2
,类似用△y表示f(x
2
)-f(x
1
),则平均变化率可以表示为△x/△y。 回归课件中的问题背景,教师提出如下问题供学生思考 教师提问1:运动员在这段时间里是静止的吗? 教师提问2:你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗? 【设计意图】教师在课堂开始时创设与生活实际相关的问题情境供学生思考讨论,可以激发学生学习新知的兴趣,活跃课堂气氛;物理学科中的平均速度与平均变化率密切相关,教师借此明确平均变化率的概念,一方面可以帮助学生建立起知识之间的联系,另一方面可以为新知的教学做铺垫。 二、新知讲授 教师指出:物理学科中将物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。高台跳水中,运动员在不同时刻的速度是不同的,所以平均速度不一定能反映其在某一时刻的瞬时速度。 教师提问:如何求跳水运动员的瞬时速度呢?t=2时,跳水运动员的瞬时速度是多少呢? 活动1:学生自主思考,小组合作交流,教师巡视,并做如下引导。. 教师引导1:如果用包含变量△t的式子分别表示在区间[2+△t,2](△t<0)和[2,2+△t](△t>0)上的v,v可以表示成什么形式? 教师引导2:对△t分别取±0.01,±0.001,±0.0001,±0.00001,分别得到对应的v的值是什么? 教师引导3:当△t趋于0时,v有什么样的变化趋势? 活动2:结合上述引导,教师让学生分别形成区间[2+△t,2](△t<0)和[2,2+△t](△t>0)上v取值情况的对应表格,小组讨论分析,教师巡视指导。 教师课件展示活动探究的表格,师生一起分析并得出结论: ①无论t从小于2的一边,还是从大于2的一边趋近于2,v均趋近于-13.1; ②当△t趋近于0时,平均速度均趋近于一个确定的值; ③从物理的角度看,时间间隔|△t|无限变小时,平均速度v无限趋近于t=2时的瞬时速度。 教师进一步提出如下问题.供学生思考讨论。 教师提问1:运动员在某一时刻t
0
的瞬时速度如何表示? 教师提问2:函数f(x)在x=x
0
处的瞬时变化率如何表示? 教师引出“瞬时变化率”的定义: 一般地,函数y=f(x)在x=x
0
处的瞬时变化率是[*] 教师进一步引入“导数”的定义: 我们称瞬时变化率为函数y=f(x)在x=x
0
处的导数,记作f’(x
0
)或即 [*] 【设计意图】教师通过设问引导学生思考,将知识从“平均变化率”过渡到“瞬时变化率”,之后启发学生进行探究活动,最后带领学生共同分析,得出“平均变化率”和“瞬时变化率”的关系,明确“瞬时变化率”的概念,并借此引入导数的概念。思路清晰的教学过程,符合学生的认知,同时可以充分展现新课标“以学生为主体”的要求,也可以很好地提升学生自主探究和分析、解决问题的能力,培养学生合作交流的意识,丰富学生的数学活动经验。 三、新知巩固 教师课件出示习题供学生巩固新知: ①如果一质点按s=3t
2
的规律运动,那么在t=2时该质点的瞬时速度是多少? ②若函数f(x)=x
3
+x
2
+2在x=1处可导,在运用导数定义求f’(1)的过程中,设自变量的增量为△x,则函数的增量△y等于多少? 【设计意图】课堂习题可以帮助学生进一步理解和记忆新知内客,使学生了解新知内容在解题中的应用。此外,新知巩固中的两道练习题,第一题为对瞬时变化率知识内容的巩固,第二题考查学生对于导数定义的理解。这一方面,帮助学生加深对导数定义的理解和掌握,另一方面,帮助教师了解学生对本课的掌握程度。
解析
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数学学科知识与教学能力题库教师资格分类
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数学学科知识与教学能力
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