《普通高中数学课程标准(2017年版)》对“导数的概念及其意义”提出的学习要求为： ①通过案例分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，体会导数的内涵与思想； ②体会极限思想；

admin2020-08-12 73

问题《普通高中数学课程标准(2017年版)》对“导数的概念及其意义”提出的学习要求为：
①通过案例分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，体会导数的内涵与思想；
②体会极限思想；
③通过函数图像直观理解导数的几何意义。
请针对“导数的概念及其意义”，以达到学习要求①为目的，完成下列教学设计：
写出教学过程(只要求写出新课导入，概念的形成与巩固等过程)及设计意图。

选项

答案教学过程一、新知导入创设问题情境：经调查发现，在高台跳水中，运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)存在的函数关系为h(t)=-4．9t²+6．5t+10，如果用运动员在某段时间内的平均速度v描述其运动状态，那么在1≤t≤2这段时间里，v的值是多少? 预留时间让学生利用旧知进行求解，之后教师订正：v=[h(2)-h(1)]/(2-1)=-8．2(m／s)。教师明确“平均变化率”的定义(课件展示)： ①若将题目中的函数关系用y=f(x)表示，那么问题中的变化率即为[f(x₂)-f(x₁)]/(x₂-x₁)，称此式为函数y=f(x)从x₁到x₂的平均变化率。 ②一般习惯用△x表示x₂-x₁，即△x=x₂-x₁，可把△x看作相对于x₁的一个增量，用x₁+△x代替x₂，类似用△y表示f(x₂)-f(x₁)，则平均变化率可以表示为△x/△y。回归课件中的问题背景，教师提出如下问题供学生思考教师提问1：运动员在这段时间里是静止的吗? 教师提问2：你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗? 【设计意图】教师在课堂开始时创设与生活实际相关的问题情境供学生思考讨论，可以激发学生学习新知的兴趣，活跃课堂气氛；物理学科中的平均速度与平均变化率密切相关，教师借此明确平均变化率的概念，一方面可以帮助学生建立起知识之间的联系，另一方面可以为新知的教学做铺垫。二、新知讲授教师指出：物理学科中将物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。高台跳水中，运动员在不同时刻的速度是不同的，所以平均速度不一定能反映其在某一时刻的瞬时速度。教师提问：如何求跳水运动员的瞬时速度呢?t=2时，跳水运动员的瞬时速度是多少呢? 活动1：学生自主思考，小组合作交流，教师巡视，并做如下引导。．教师引导1：如果用包含变量△t的式子分别表示在区间[2+△t，2](△t＜0)和[2，2+△t](△t＞0)上的v，v可以表示成什么形式? 教师引导2：对△t分别取±0．01，±0．001，±0．0001，±0．00001，分别得到对应的v的值是什么? 教师引导3：当△t趋于0时，v有什么样的变化趋势? 活动2：结合上述引导，教师让学生分别形成区间[2+△t，2](△t＜0)和[2，2+△t](△t＞0)上v取值情况的对应表格，小组讨论分析，教师巡视指导。教师课件展示活动探究的表格，师生一起分析并得出结论： ①无论t从小于2的一边，还是从大于2的一边趋近于2，v均趋近于-13．1； ②当△t趋近于0时，平均速度均趋近于一个确定的值； ③从物理的角度看，时间间隔｜△t｜无限变小时，平均速度v无限趋近于t=2时的瞬时速度。教师进一步提出如下问题．供学生思考讨论。教师提问1：运动员在某一时刻t₀的瞬时速度如何表示? 教师提问2：函数f(x)在x=x₀处的瞬时变化率如何表示? 教师引出“瞬时变化率”的定义：一般地，函数y=f(x)在x=x₀处的瞬时变化率是[*] 教师进一步引入“导数”的定义：我们称瞬时变化率为函数y=f(x)在x=x₀处的导数，记作f’(x₀)或即 [*] 【设计意图】教师通过设问引导学生思考，将知识从“平均变化率”过渡到“瞬时变化率”，之后启发学生进行探究活动，最后带领学生共同分析，得出“平均变化率”和“瞬时变化率”的关系，明确“瞬时变化率”的概念，并借此引入导数的概念。思路清晰的教学过程，符合学生的认知，同时可以充分展现新课标“以学生为主体”的要求，也可以很好地提升学生自主探究和分析、解决问题的能力，培养学生合作交流的意识，丰富学生的数学活动经验。三、新知巩固教师课件出示习题供学生巩固新知： ①如果一质点按s=3t²的规律运动，那么在t=2时该质点的瞬时速度是多少? ②若函数f(x)=x³+x²+2在x=1处可导，在运用导数定义求f’(1)的过程中，设自变量的增量为△x，则函数的增量△y等于多少? 【设计意图】课堂习题可以帮助学生进一步理解和记忆新知内客，使学生了解新知内容在解题中的应用。此外，新知巩固中的两道练习题，第一题为对瞬时变化率知识内容的巩固，第二题考查学生对于导数定义的理解。这一方面，帮助学生加深对导数定义的理解和掌握，另一方面，帮助教师了解学生对本课的掌握程度。

解析

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