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已知向量β=(a1，a2，a3，a4)T可以由α1=(1，0，0，1)T，α2=(1，1，0，0)T，α3=(0，2，-1，-3)T，α4=(0，0，3，3)T线性表出。 (Ⅰ)求a1，a2，a3，a4应满足的条件； (Ⅱ)求向量组α1，α2，α3
已知向量β=(a1，a2，a3，a4)T可以由α1=(1，0，0，1)T，α2=(1，1，0，0)T，α3=(0，2，-1，-3)T，α4=(0，0，3，3)T线性表出。 (Ⅰ)求a1，a2，a3，a4应满足的条件； (Ⅱ)求向量组α1，α2，α3
admin
2018-01-26
30
问题
已知向量β=(a
1
，a
2
，a
3
，a
4
)
T
可以由α
1
=(1，0，0，1)
T
，α
2
=(1，1，0，0)
T
，α
3
=(0，2，-1，-3)
T
，α
4
=(0，0，3，3)
T
线性表出。
(Ⅰ)求a
1
，a
2
，a
3
，a
4
应满足的条件；
(Ⅱ)求向量组α
1
，α
2
，α
3
，α
4
的一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组线性表出；
(Ⅲ)把向量β分别用α
1
，α
2
，α
3
，α
4
和它的极大线性无关组线性表出。
选项
答案
(Ⅰ)β可由α
1
，α
2
，α
3
，α
4
线性表示，即方程组(1)x
1
α
1
+x
2
α
2
+x
3
α
3
+x
4
α
4
=β有解，对增广矩阵作初等行变换，有 [*] 所以向量β可以由α
1
，α
2
，α
3
，α
4
线性表出的充分必要条件是：a
1
-a
2
+a
3
-a
4
=0。 (Ⅱ)由(Ⅰ)初等变换矩阵知，向量组α
1
，α
2
，α
3
，α
4
的极大线性无关组是α
1
，α
2
，α
3
，且 α
4
=-6α
1
+6α
2
-3α
3
(2) (Ⅲ)方程组(1)的通解是 x
1
=a
1
-a
2
-2a
3
+6t，x
2
=a
2
+2a
3
-6t， x
3
=3t-a
3
，x
4
=t，其中t为任意常数， 所以β=(a
1
-a
2
-2a
3
+6t)α
1
+(a
2
+2a
3
-6t)α
2
+(3t-a
3
)α
3
+tα
4
，其中t为任意常数。 把(2)式代入，得 β=(a
1
-a
2
-2a
3
)α
1
+(a
2
+2a
3
)a
2
-a
3
α
3
。
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/zcr4777K
0
考研数学一
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[*]
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