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  3. 已知三元二次型XTAX的平方项系数全为0，设α＝[1，2，－1]T且满足Aα＝2α。 求正交变换X＝QY化该二次型为标准形，并写出所用的坐标变换；

已知三元二次型XTAX的平方项系数全为0，设α＝[1，2，－1]T且满足Aα＝2α。 求正交变换X＝QY化该二次型为标准形，并写出所用的坐标变换；

admin2015-11-16  48
问题 已知三元二次型XTAX的平方项系数全为0，设α＝[1，2，－1]T且满足Aα＝2α。
求正交变换X＝QY化该二次型为标准形，并写出所用的坐标变换；
选项
答案由[*]＝(λ－2)2(λ＋4)＝0 得到A的特征值为 λ1＝λ2＝2， λ3＝－4。 即λ1为二重根，可用基础解系正交化的方法求出正交矩阵。 解(2E－A)X＝0。 由[*] ① 得到属于λ1＝2的一个特征向量 α1＝[1，1，0]T， 另一个与之正交的特征向量设为X＝[x1，x2，x3]T，则 BX＝x1－x2－x3＝0， ② 又由α1TX＝0得到 x1＋x2＝0， ③ 联立式②与式③解之，由 [*] 得到与α1正交的特征向量为 β2＝[1／2，－1／2，1]T。 β2也可用施密特正交化的方法求得，为此，先由式①取两个线性无关的特征向量： α1＝[1，1，0]T， α2＝[1，0，1]T。 令β1＝α1，则 [*] 当λ3＝－4时，求解(－4E－A)X＝0。由 [*] 得到属于λ3＝－4的特征向量α3＝[－1，1，1]T，于是α1，β2，α3为两两正交的特征向量。将α1，β2，α3单位化得到 [*] 令Q＝[η1，η2，η3]，则Q为正交矩阵，作坐标变换X＝QY，则在此坐标变换下原二次型化为标准形： XTAX＝YTAY＝2y12＋2y22－4y32。
解析
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考研数学一

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