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已知三元二次型XTAX的平方项系数全为0,设α=[1,2,-1]T且满足Aα=2α。 求正交变换X=QY化该二次型为标准形,并写出所用的坐标变换;
已知三元二次型XTAX的平方项系数全为0,设α=[1,2,-1]T且满足Aα=2α。 求正交变换X=QY化该二次型为标准形,并写出所用的坐标变换;
admin
2015-11-16
61
问题
已知三元二次型X
T
AX的平方项系数全为0,设α=[1,2,-1]
T
且满足Aα=2α。
求正交变换X=QY化该二次型为标准形,并写出所用的坐标变换;
选项
答案
由[*]=(λ-2)
2
(λ+4)=0 得到A的特征值为 λ
1
=λ
2
=2, λ
3
=-4。 即λ
1
为二重根,可用基础解系正交化的方法求出正交矩阵。 解(2E-A)X=0。 由[*] ① 得到属于λ
1
=2的一个特征向量 α
1
=[1,1,0]
T
, 另一个与之正交的特征向量设为X=[x
1
,x
2
,x
3
]
T
,则 BX=x
1
-x
2
-x
3
=0, ② 又由α
1
T
X=0得到 x
1
+x
2
=0, ③ 联立式②与式③解之,由 [*] 得到与α
1
正交的特征向量为 β
2
=[1/2,-1/2,1]
T
。 β
2
也可用施密特正交化的方法求得,为此,先由式①取两个线性无关的特征向量: α
1
=[1,1,0]
T
, α
2
=[1,0,1]
T
。 令β
1
=α
1
,则 [*] 当λ
3
=-4时,求解(-4E-A)X=0。由 [*] 得到属于λ
3
=-4的特征向量α
3
=[-1,1,1]
T
,于是α
1
,β
2
,α
3
为两两正交的特征向量。将α
1
,β
2
,α
3
单位化得到 [*] 令Q=[η
1
,η
2
,η
3
],则Q为正交矩阵,作坐标变换X=QY,则在此坐标变换下原二次型化为标准形: X
T
AX=Y
T
AY=2y
1
2
+2y
2
2
-4y
3
2
。
解析
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0
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