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已知A是2×4矩阵,齐次方程组Ax=0的基础解系是 η1=(1,3,0,2)T,η2=(1,2,-1,3)T, 又知齐次方程组Bx=0的基础解系是 β1=(1,1,2,1)T,β2=(0,-3,1,a)T, (Ⅰ)求矩阵A;
已知A是2×4矩阵,齐次方程组Ax=0的基础解系是 η1=(1,3,0,2)T,η2=(1,2,-1,3)T, 又知齐次方程组Bx=0的基础解系是 β1=(1,1,2,1)T,β2=(0,-3,1,a)T, (Ⅰ)求矩阵A;
admin
2015-05-07
58
问题
已知A是2×4矩阵,齐次方程组Ax=0的基础解系是
η
1
=(1,3,0,2)
T
,η
2
=(1,2,-1,3)
T
,
又知齐次方程组Bx=0的基础解系是
β
1
=(1,1,2,1)
T
,β
2
=(0,-3,1,a)
T
,
(Ⅰ)求矩阵A;
(Ⅱ)如果齐次线性方程组Ax=0与Bx=0有非零公共解,求a的值并求公共解.
选项
答案
(Ⅰ)记C=(η
1
,η
2
),由AC=A(η
1
,η
2
)=0知C
T
A
T
=0,则矩阵A
T
的列向量(即矩阵A的行向量)是齐次线性方程组C
T
x=0的解.对C
T
作初等行变换,有 [*] 得到C
T
x=0的基础解系为α
1
=(3,-1,1,0)
T
,α
2
=(-5,1,0,1)
T
. 所以矩阵A=[*] (Ⅱ)设齐次线性方程组Ax=0与Bx=0的非零公共解为γ,则γ既可由η
1
,η
2
线性表出, 也可由β
1
,β
2
线性表出,故可设 γ=x
1
η
1
+x
2
η
2
=-x
3
β
1
-x
4
β
2
, 于是 x
1
η
1
+x
2
η
2
+x
3
β
1
+x
β
2
=0. 对(η
1
,η
2
,β
1
,β
2
)作初等行变换,有 (η
1
,η
2
,β
1
,β
2
)=[*]γ≠0[*]x
1
,x
2
,x
3
,x
4
不全为0[*秩r(η
1
,η
2
,β
1
,β
2
)<4[*]a=0. 当a=0时,解出x
4
=t,x
3
=-t,x
2
=-t,x
1
=2t. 因此Ax=0与Bx=0的公共解为γ=2tη
1
-tη
2
=t(1,4,1,1)
T
,其中t为任意常数.
解析
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考研数学一
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