2. 考研
  3. 已知A是2×4矩阵，齐次方程组Ax=0的基础解系是 η1=(1，3，0，2)T，η2=(1，2，－1，3)T， 又知齐次方程组Bx=0的基础解系是 β1=(1，1，2，1)T，β2=(0，－3，1，a)T， (Ⅰ)求矩阵A；

已知A是2×4矩阵，齐次方程组Ax=0的基础解系是 η1=(1，3，0，2)T，η2=(1，2，－1，3)T， 又知齐次方程组Bx=0的基础解系是 β1=(1，1，2，1)T，β2=(0，－3，1，a)T， (Ⅰ)求矩阵A；

admin2015-05-07  55
问题 已知A是2×4矩阵，齐次方程组Ax=0的基础解系是
    η1=(1，3，0，2)T，η2=(1，2，－1，3)T，
    又知齐次方程组Bx=0的基础解系是
    β1=(1，1，2，1)T，β2=(0，－3，1，a)T，
    (Ⅰ)求矩阵A；
    (Ⅱ)如果齐次线性方程组Ax=0与Bx=0有非零公共解，求a的值并求公共解．
选项
答案(Ⅰ)记C=(η1，η2)，由AC=A(η1，η2)=0知CTAT=0，则矩阵AT的列向量(即矩阵A的行向量)是齐次线性方程组CTx=0的解．对CT作初等行变换，有 [*] 得到CTx=0的基础解系为α1=(3，－1，1，0)T，α2=(－5，1，0，1)T． 所以矩阵A=[*] (Ⅱ)设齐次线性方程组Ax=0与Bx=0的非零公共解为γ，则γ既可由η1，η2线性表出， 也可由β1，β2线性表出，故可设 γ=x1η1+x2η2=－x3β1－x4β2， 于是 x1η1+x2η2+x3β1+xβ2=0． 对(η1，η2，β1，β2)作初等行变换，有 (η1，η2，β1，β2)=[*]γ≠0[*]x1，x2，x3，x4不全为0[*秩r(η1，η2，β1，β2)<4[*]a=0． 当a=0时，解出x4=t，x3=－t，x2=－t，x1=2t． 因此Ax=0与Bx=0的公共解为γ=2tη1－tη2=t(1，4，1，1)T，其中t为任意常数．
解析
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考研数学一

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