过曲面=4上任一点的切平面在三个坐标轴上的截距的平方和为( )．

admin2022-07-21 71

问题过曲面

=4上任一点的切平面在三个坐标轴上的截距的平方和为( )．

选项 A、96
B、32
C、16
D、64

答案D

解析曲面x^2/3+y^2/3+z^2/3=4上任一点P(x，y，z)处的法向量为

，故在点P(x，y，z)处的切平面方程为

x^-1/3(X-x)+

y^-1/3(Y-y)+

z^-1/3(Z-z)=0
令Y=Z=0，得X₀=x^1/3(x^2/3+y^2/3+z^2/3)=4x^1/3，同理得到在y轴、z轴的截距为Y₀=4y^1/3，Z₀=4z^1/3．
所以 X₀²+Y₀²+Z₀²=16(x^2/3+y^2/3+z^2/3)=64

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