设函数f(x)为连续函数，证明： ∫0πxf(sinx)dx=∫0πf(sinx)dx，并利用此结果计算积分∫0π；

admin2022-06-04 4

问题设函数f(x)为连续函数，证明：
∫₀^πxf(sinx)dx=

∫₀^πf(sinx)dx，并利用此结果计算积分∫₀^π

；

选项

答案等式两端被积函数含有正弦函数，根据诱导公式引入变量代换x=π-t，则 ∫₀^πxf(sinx)dx=-∫_π⁰(π-t)f[sin(π-t)]dt =∫₀^π(π-t)f(sint)dt=π∫₀^πf(sint)dt-∫₀^πtf(sint)dt，所以 ∫₀^π)xf(sinx)dx=[*]∫₀^πf(sinx)dx 所求积分 [*]

解析

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考研数学一

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