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设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,证明:在(a,b)内至少存在一点ξ,使得
设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,证明:在(a,b)内至少存在一点ξ,使得
admin
2020-05-02
9
问题
设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,证明:在(a,b)内至少存在一点ξ,使得
选项
答案
令F(x)=(b-x)f(x)+f(a)x.因为f(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,所以F(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,F(a)=F(b)=bf(a).由罗尔定理知,在(a,b)内至少存在一点ξ,使得F′(ξ)=0.而 F′(x)=-f(x)+(b-x)f′(x)+f(a) 所以-f(ξ)+(b-ξ)f′(ξ)+f(a)=0.由ξ∈(a,b),得b-ξ≠0,因此有f′(ξ)=[*]
解析
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考研数学一
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