证明n阶矩阵相似。

admin2021-01-19 77

问题证明n阶矩阵

相似。

选项

答案设[*]，分别求解两个矩阵的特征值和特征向量如下：｜λE一A ｜=[*]=(λ—n)λ^n－1。所以A的n个特征值为λ₁=n，λ₂=λ₃=…λ_n=0，而且A是实对称矩阵，所以一定可以对角化，且A～[*]，｜λE一B｜=[*]=(λ一n)λ^n－1，所以B的n个特征值也为λ₁=n，λ₂=λ₃=…λ_n=0，对于n－1重特征值λ=0，由于矩阵(0E—B)=一B的秩显然为1，所以矩阵B对应n一1重特征值λ=0的特征向量应该有n一1个且线性无关。矩阵B存在n个线性无关的特征向量，即矩阵B一定可以对角化，且B～[*]。从而可知n阶矩阵[*]相似。

解析

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