已知齐次线性方程组其中。试讨论a1,a2,…,an和b满足何种关系时: (I)方程组仅有零解; (Ⅱ)方程组有非零解,在有非零解时,求此方程组的一个基础解系。

admin2018-08-12  32

问题 已知齐次线性方程组其中。试讨论a1,a2,…,an和b满足何种关系时:
(I)方程组仅有零解;
(Ⅱ)方程组有非零解,在有非零解时,求此方程组的一个基础解系。

选项

答案方程组的系数矩阵的行列式[*] (I)当b≠0且[*]时,r(A)=0,方程组仅有零解。(Ⅱ)当b=0时,原方程组的同解方程组为a1x1+a2x2+…+anxn=0。由[*]可知,ai(i=1,2,…,n)不全为零。不妨设a1≠0,得原方程组的一个基础解系为α1=(一a2,a1,1,0,…,0)T,α2=(一a3,0,a1,…,0)T,…,αn-1=(一an,0,0,…,a1)T。当[*]时,有b≠0,原方程组的系数矩阵可化为 [*] 由此得原方程组的同解方程组为x3=x1,x3=x1,…,xn=x1。原方程组的一个基础解系为α=(1,1,…,1)T

解析
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