已知齐次线性方程组其中。试讨论a1，a2，…，an和b满足何种关系时： (I)方程组仅有零解； (Ⅱ)方程组有非零解，在有非零解时，求此方程组的一个基础解系。

admin2018-08-12 30

问题已知齐次线性方程组

其中

。试讨论a₁，a₂，…，a_n和b满足何种关系时：
(I)方程组仅有零解；
(Ⅱ)方程组有非零解，在有非零解时，求此方程组的一个基础解系。

选项

答案方程组的系数矩阵的行列式[*] (I)当b≠0且[*]时，r(A)=0，方程组仅有零解。(Ⅱ)当b=0时，原方程组的同解方程组为a₁x₁+a₂x₂+…+a_nx_n=0。由[*]可知，a_i(i=1，2，…，n)不全为零。不妨设a₁≠0，得原方程组的一个基础解系为α₁=(一a₂，a₁，1，0，…，0)^T，α₂=(一a₃，0，a₁，…，0)^T，…，α_n-1=(一a_n，0，0，…，a₁)^T。当[*]时，有b≠0，原方程组的系数矩阵可化为 [*] 由此得原方程组的同解方程组为x₃=x₁，x₃=x₁，…，x_n=x₁。原方程组的一个基础解系为α=(1，1，…，1)^T。

解析

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考研数学二

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已知齐次线性方程组其中。试讨论a1，a2，…，an和b满足何种关系时： (I)方程组仅有零解； (Ⅱ)方程组有非零解，在有非零解时，求此方程组的一个基础解系。

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