A，B均为n阶非零矩阵，且A2+A=0，B2+B=0，证明：λ=一1必是矩阵A与B的特征值．若AB=BA=0，α与β分别是A与B属于特征值λ=一1的特征向量，证明：向量组α，β线性无关．

admin2017-07-26 44

问题 A，B均为n阶非零矩阵，且A²+A=0，B²+B=0，证明：λ=一1必是矩阵A与B的特征值．
若AB=BA=0，α与β分别是A与B属于特征值λ=一1的特征向量，证明：向量组α，β线性无关．

选项

答案因为(E+A)A=0，A≠0，知齐次方程组(E+A)x=0有非零解，即行列式｜E+A｜=0．所以λ=一1必是矩阵A的特征值．同理，λ=一1也必是矩阵B的特征值．类似地，由AB=0，B≠0，知行列式｜A｜=0，所以λ0必是矩阵A的特征值，同理，λ=0也必是矩阵B的特征值．对于Aα=一α，用矩阵B左乘等式的两端有BAα=一Bα，又因为BA=0，故Bα=0=0α．即α是矩阵B属于特征值λ=0的特征向量．那么，α与β是矩阵B的不同特征值的特征向量，因而α，β线性无关．

解析

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考研数学三

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A，B均为n阶非零矩阵，且A2+A=0，B2+B=0，证明：λ=一1必是矩阵A与B的特征值．若AB=BA=0，α与β分别是A与B属于特征值λ=一1的特征向量，证明：向量组α，β线性无关．

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