A，B均为n阶非零矩阵，且A2+A=0，B2+B=0，证明：λ=一1必是矩阵A与B的特征值．若AB=BA=0，α与β分别是A与B属于特征值λ=一1的特征向量，证明：向量组α，β线性无关．

admin2017-07-26 36

问题 A，B均为n阶非零矩阵，且A²+A=0，B²+B=0，证明：λ=一1必是矩阵A与B的特征值．
若AB=BA=0，α与β分别是A与B属于特征值λ=一1的特征向量，证明：向量组α，β线性无关．

选项

答案因为(E+A)A=0，A≠0，知齐次方程组(E+A)x=0有非零解，即行列式｜E+A｜=0．所以λ=一1必是矩阵A的特征值．同理，λ=一1也必是矩阵B的特征值．类似地，由AB=0，B≠0，知行列式｜A｜=0，所以λ0必是矩阵A的特征值，同理，λ=0也必是矩阵B的特征值．对于Aα=一α，用矩阵B左乘等式的两端有BAα=一Bα，又因为BA=0，故Bα=0=0α．即α是矩阵B属于特征值λ=0的特征向量．那么，α与β是矩阵B的不同特征值的特征向量，因而α，β线性无关．

解析

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考研数学三

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A，B均为n阶非零矩阵，且A2+A=0，B2+B=0，证明：λ=一1必是矩阵A与B的特征值．若AB=BA=0，α与β分别是A与B属于特征值λ=一1的特征向量，证明：向量组α，β线性无关．

考研数学三

设A是n阶矩阵，且A的行列式｜A｜＝0，则A________．

设A为n阶非奇异矩阵，a是n维列向量，b为常数，P=(Ⅰ)计算PQ；(Ⅱ)证明PQ可逆的充分必要条件是aTA-1a≠b．

已知实二次型f(x1，x2，x3)＝a(x11＋x22＋x32)＋4x1x2＋4x1x3＋4x2x3经正交变换x＝Py可化成标准形f＝6y12，则a＝_______．

已知线性方程组(Ⅰ)a，b为何值时，方程组有解?(Ⅱ)方程组有解时，求出方程组的导出组的一个基础解系：(Ⅲ)方程组有解时，求出方程组的全部解．

设A是n阶反对称矩阵，证明：如果λ是A的特征值，那么一λ也必是A的特征值．

设A是m×n矩阵，则下列4个命题①若r(A)=m，则非齐次线性方程组Ax=b必有解；②若r(A)=m，则齐次方程组Ax=0只有零解；③若r(A)=n，则非齐次线性方程组Ax=b有唯一解；④若r(A)=n，则齐次方程组Ax=0只有零解中正确的是

设A为3阶矩阵，P为3阶可逆矩阵，且若P＝(α1，α2，α3)，Q＝(α1＋α2，α2，α3)，则Q－1AQ＝()．

设α1=(2，-1，0，5)，α2=(-4，-2，3，0)，α3=(-1，0，1，k)，α4=(-1，0，2，1)，则k=________时，α1，α2，α3，α4线性相关．

设α1，α2，α3均为3维列向量，记矩阵A=(α1，α2，α3)，B=(α1+α2+α3，α1+2α2+4α3，α1+3α2+9α3).如果丨A丨=1，那么丨B丨=__________．

生姜具有的功效紫苏具有的功效

以下说法正确的是()

在临近交割月时，期货价格和现货价格将会趋于一致，这主要是由于市场中()的作用。

社会主义财政的基本性质是()。

在远程会议议程的安排上，经常采取先集中后分散的开会方式是为了()。

由于近期的干旱和高温，导致海湾盐度增加，引起了许多鱼的死亡，虾虽然可以适应高盐度，但盐度高也给养虾场带来了不幸。以下哪个选项为真，就能够提供解释以上现象的原因()

社会主义改造基本完成后，国家政治生活的主题是

Swing构件必须添加到Swing顶层容器相关的

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设A为3阶矩阵，P为3阶可逆矩阵，且若P＝(α1，α2，α3)，Q＝(α1＋α2，α2，α3)，则Q－1AQ＝()．

设α1=(2，-1，0，5)，α2=(-4，-2，3，0)，α3=(-1，0，1，k)，α4=(-1，0，2，1)，则k=________时，α1，α2，α3，α4线性相关．

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