n阶矩阵A具有n个线性无关的特征向量是A与对角矩阵相似的( )

admin2019-03-14 57

问题 n阶矩阵A具有n个线性无关的特征向量是A与对角矩阵相似的( )

选项 A、充分必要条件．
B、充分而非必要条件．
C、必要而非充分条件．
D、既非充分也非必要条件．

答案A

解析若

，则有可逆矩阵P使P^一1AP=AP=A，或AP=PA．令P=(γ₁，γ₂，…，γ_n)，即

从而有Aγ_i=α_iγ_i，i=1，2，…，n．由P可逆，即有γ_i≠0，且γ₁，γ₂，…，γ_n线性无关．根据定义可知γ₁，γ₂，…，γ_n是A的n个线性无关的特征向量．反之，若A有n个线性无关的特征向量α₁,α₂……α_n，且满足Aα_i=λ_iα_i，i=1，2，…，n．那么，用分块矩阵有

由于矩阵P=(α₁,α₂……α_n)可逆，所以P^一1AP=A，即A与对角矩阵A相似．所以应选A．

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考研数学二

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