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n阶矩阵A具有n个线性无关的特征向量是A与对角矩阵相似的( )
n阶矩阵A具有n个线性无关的特征向量是A与对角矩阵相似的( )
admin
2019-03-14
73
问题
n阶矩阵A具有n个线性无关的特征向量是A与对角矩阵相似的( )
选项
A、充分必要条件.
B、充分而非必要条件.
C、必要而非充分条件.
D、既非充分也非必要条件.
答案
A
解析
若
,则有可逆矩阵P使P
一1
AP=AP=A,或AP=PA.令P=(γ
1
,γ
2
,…,γ
n
),即
从而有Aγ
i
=α
i
γ
i
,i=1,2,…,n.由P可逆,即有γ
i
≠0,且γ
1
,γ
2
,…,γ
n
线性无关.根据定义可知γ
1
,γ
2
,…,γ
n
是A的n个线性无关的特征向量.反之,若A有n个线性无关的特征向量α
1
,α
2
……α
n
,且满足Aα
i
=λ
i
α
i
,i=1,2,…,n.那么,用分块矩阵有
由于矩阵P=(α
1
,α
2
……α
n
)可逆,所以P
一1
AP=A,即A与对角矩阵A相似.所以应选A.
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考研数学二
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