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利用代换将方程y’’cosx一2y’sinx+3ycosx=ex化简,并求出原方程的通解。
利用代换将方程y’’cosx一2y’sinx+3ycosx=ex化简,并求出原方程的通解。
admin
2017-01-13
28
问题
利用代换
将方程y’’cosx一2y’sinx+3ycosx=e
x
化简,并求出原方程的通解。
选项
答案
由[*] 得y’=u’secx+usecxtanx,y’’=u’’secx+2u’secxtanx+u(secxtan
2
x+Sec
3
x),代入原方程y’’cosx一2y’sinx+3ycosx=e
x
,得 u’’+4u=e
x
。 (*) 先求其相应齐次方程的通解。由于其特征方程为λ
2
+4=0,则特征方程的根为A=±2i。所以通解为u(x)=C
1
cosx2x+C
2
sin2x(C
1
,C
2
为任意常数)。再求非齐次方程的特解()设其特解为u
*
(x)=Ae
*
,代入(*)式,得 (Ae
x
)’’+4Ae
x
=Ae
x
+4Ae
x
=5Ae
x
=e
x
,解得[*] 故(*)的通解为[*]所以,原微分方程的通解为 [*]
解析
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