已知α1=(1,1,0,2)T,α2=(-1,1,2,4)T,α3=(2,3,a,7)T,α4=(-1,5,-3,a+6)T,β=(1,0,2,b)T,问a,b取何值时, (Ⅰ)β不能由α1,α2,α3,α4线性表示? (Ⅱ)β能用α1,α2,α3,α4线

admin2018-06-15  23

问题 已知α1=(1,1,0,2)T,α2=(-1,1,2,4)T,α3=(2,3,a,7)T,α4=(-1,5,-3,a+6)T,β=(1,0,2,b)T,问a,b取何值时,
(Ⅰ)β不能由α1,α2,α3,α4线性表示?
(Ⅱ)β能用α1,α2,α3,α4线性表出,且表示法唯一;
(Ⅲ)β能用α1,α2,α3,α4线性表出,且表示法不唯一,并写出此时表达式.

选项

答案设x1α1+x2α2+x3α3+x3α4=β,对增广矩阵(α1,α2,α3,α4[*]β)作初等行变换,有 [*] (Ⅰ)当a=1,b≠2或a=10,b≠-1时,方程组均无解.所以β不能由α1,α2,α3,α4线性表出. (Ⅱ)当a≠1且a≠10时,[*]b方程组均有唯一解.所以β能用α1,α2,α3,α4线性表示且表示法唯一. (Ⅲ)方程组在两种情况下有无穷多解,即(1)当a=10,b=-1时,方程组有无穷多解: [*] (2)当a=1,n=2时,方程组有无穷多解:x4=-1/3,x2=t,x3=1-2t,x1=5t-[*] 即β=(5t-[*])α1+tα2+(1-2t)α3-[*]α4

解析
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