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设向量组α1，α4，…，αs(s≥2)线性无关，且β1=α1+α2，β2=α2+α3，…，βs-1=αs-1+αs，βs=αs+α1讨论向量组β1，β2，…，βs的线性相关性．
设向量组α1，α4，…，αs(s≥2)线性无关，且β1=α1+α2，β2=α2+α3，…，βs-1=αs-1+αs，βs=αs+α1讨论向量组β1，β2，…，βs的线性相关性．
admin
2016-07-22
60
问题
设向量组α
1
，α
4
，…，α
s
(s≥2)线性无关，且β
1
=α
1
+α
2
，β
2
=α
2
+α
3
，…，β
s-1
=α
s-1
+α
s
，β
s
=α
s
+α
1
讨论向量组β
1
，β
2
，…，β
s
的线性相关性．
选项
答案
方法一 设x
1
β
1
+x
2
β
2
+…+x
s
β
s
=0，即 (x
1
+x
s
)α
1
+(x
1
+x
2
)α
2
+…+(x
s-1
+x
s
)α
s
=0． 因为α
1
，α
2
，…，α
s
线性无关，则[*]其系数行列式 [*] (1)当s为奇数时，｜A｜=2≠0，方程组只有零解，则向量组β
1
，β
2
，…，β
s
线性无关； (2)当s为偶数时，｜A｜=0，方程组有非零解，则向量组β
1
，β
2
，…，β
s
线性相关 方法二 显然 [β
1
，β
2
，…，β
s
]=[α
1
，α
2
，…，α
s
][*] =[α
1
，α
2
，…，α
s
]K
s×s
， 因为α
1
，α
2
，…，α
s
线性无关，则 r(α
1
，α
2
，…，α
s
)≤min{r(α
1
，α
2
，…，α
s
)，r(K))=r(K) (1)r(K)=s[*]｜K｜=1+(-1)
s+1
≠0[*]s为奇数时，r(β
1
，β
2
，…，β
s
)=s，则向量组β
1
，β
2
，…，β
s
线性无关； (2)r(K)＜s[*]｜K｜=1+(-1)
s+1
=0[*]s为偶数时，r(β
1
，β
2
，…，β
s
)＜s，则向量组β
1
，β
2
，…，β
s
线性相关．
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/4ew4777K
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考研数学一
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