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设向量组α1,α4,…,αs(s≥2)线性无关,且β1=α1+α2,β2=α2+α3,…,βs-1=αs-1+αs,βs=αs+α1讨论向量组β1,β2,…,βs的线性相关性.
设向量组α1,α4,…,αs(s≥2)线性无关,且β1=α1+α2,β2=α2+α3,…,βs-1=αs-1+αs,βs=αs+α1讨论向量组β1,β2,…,βs的线性相关性.
admin
2016-07-22
33
问题
设向量组α
1
,α
4
,…,α
s
(s≥2)线性无关,且β
1
=α
1
+α
2
,β
2
=α
2
+α
3
,…,β
s-1
=α
s-1
+α
s
,β
s
=α
s
+α
1
讨论向量组β
1
,β
2
,…,β
s
的线性相关性.
选项
答案
方法一 设x
1
β
1
+x
2
β
2
+…+x
s
β
s
=0,即 (x
1
+x
s
)α
1
+(x
1
+x
2
)α
2
+…+(x
s-1
+x
s
)α
s
=0. 因为α
1
,α
2
,…,α
s
线性无关,则[*]其系数行列式 [*] (1)当s为奇数时,|A|=2≠0,方程组只有零解,则向量组β
1
,β
2
,…,β
s
线性无关; (2)当s为偶数时,|A|=0,方程组有非零解,则向量组β
1
,β
2
,…,β
s
线性相关 方法二 显然 [β
1
,β
2
,…,β
s
]=[α
1
,α
2
,…,α
s
][*] =[α
1
,α
2
,…,α
s
]K
s×s
, 因为α
1
,α
2
,…,α
s
线性无关,则 r(α
1
,α
2
,…,α
s
)≤min{r(α
1
,α
2
,…,α
s
),r(K))=r(K) (1)r(K)=s[*]|K|=1+(-1)
s+1
≠0[*]s为奇数时,r(β
1
,β
2
,…,β
s
)=s,则向量组β
1
,β
2
,…,β
s
线性无关; (2)r(K)<s[*]|K|=1+(-1)
s+1
=0[*]s为偶数时,r(β
1
,β
2
,…,β
s
)<s,则向量组β
1
,β
2
,…,β
s
线性相关.
解析
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考研数学一
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