设f(x)在(一∞，+∞)连续，存在极限f(x)=B．证明： (Ⅰ)设A＜B，则对ξ∈(一∞，+∞)，使得f(ξ)=μ； (Ⅱ)f(x)在(一∞，+∞)有界．

admin2018-11-21 45

问题设f(x)在(一∞，+∞)连续，存在极限

f(x)=B．证明：
(Ⅰ)设A＜B，则对

ξ∈(一∞，+∞)，使得f(ξ)=μ；
(Ⅱ)f(x)在(一∞，+∞)有界．

选项

答案利用极限的性质转化为有界区间的情形． (Ⅰ)由[*]f(x)=A＜μ及极限的不等式性质可知，[*]X₁使得f(X₁)＜μ．由[*]X₂＞X₁使得f(X₂)＞μ．因f(x)在[X₁，X₂]连续，f(X₁)＜μ＜f(X₂)，由连续函数介值定理知[*]ξ∈(X₁，X₂)[*](一∞，+∞)，使得f(ξ)=μ． (Ⅱ)因[*]f(x)=B，由存在极限的函数的局部有界性定理可知，[*]X₁使得当x∈(一∞，X₁)时f(x)有界；[*]X₂(＞X₁)使得当x∈(X₂，+∞)时f(x)有界．又由有界闭区间上连续函数的有界性定理可知，f(x)在[X₁，X₂]上有界．因此f(x)在(一∞，+∞)上右界．

解析

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考研数学一

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设f(x)在(一∞，+∞)连续，存在极限f(x)=B．证明： (Ⅰ)设A＜B，则对ξ∈(一∞，+∞)，使得f(ξ)=μ； (Ⅱ)f(x)在(一∞，+∞)有界．

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