设有方程yˊ+P(x)y=x2,其中P(x)=,试求在(-∞,+∞)内的连续函数y=y(x),使之在(-∞,1)和(1,+∞)内都满足方程,且满足初值条件y(0)=2.

admin2016-09-13  58

问题 设有方程yˊ+P(x)y=x2,其中P(x)=,试求在(-∞,+∞)内的连续函数y=y(x),使之在(-∞,1)和(1,+∞)内都满足方程,且满足初值条件y(0)=2.

选项

答案本题虽是基础题,但其特色在于当z的取值范围不同时,系数P(x)不同,这样所求解的方程就不一样,解的形式自然也会不一样,最后要根据解y=y(x)是连续函数,确定任意常数. 当x≤1时,方程及其初值条件为[*]求解得 y=e-∫1dx(∫x2e∫1dxdx+C)=e-x(∫x2exdx+C)=x2-2x+2+Ce-x. 由y(0)=2得C=0,故y=x2-2x+2. 当x>1时,方程为yˊ+[*]y=x2,求解得 [*] 综上,得 [*] 又y(x)在(-∞,+∞)内连续,有f(1)=f(1+)=f(1),即1-2+2=[*]+C,从而C=[*]. 所以 [*]

解析
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