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设A(2,2),B(1,1),Γ是从点A到点B的线段下方的一条光滑定向曲线y=y(x),且它与围成的面积为2,又φ(y)有连续导数,求曲线积分I=∫Γ[πφ(y)cosπx一2πy]dx+[φ’(y)sinπx一2π]dy.[img][/img]
设A(2,2),B(1,1),Γ是从点A到点B的线段下方的一条光滑定向曲线y=y(x),且它与围成的面积为2,又φ(y)有连续导数,求曲线积分I=∫Γ[πφ(y)cosπx一2πy]dx+[φ’(y)sinπx一2π]dy.[img][/img]
admin
2019-06-04
80
问题
设A(2,2),B(1,1),Γ是从点A到点B的线段
下方的一条光滑定向曲线y=y(x),且它与
围成的面积为2,又φ(y)有连续导数,求曲线积分I=∫
Γ
[πφ(y)cosπx一2πy]dx+[φ’(y)sinπx一2π]dy.[img][/img]
选项
答案
把该曲线积分分成两部分,其中一个积分的被积表达式易求原函数,另一积分可添加辅助线[*]后用格林公式. I=∫
Γ
πφ(y)cosπxdx+φ’(y)sinπxdy-2πdy+∫
Γ
(-2πy)[*]I
1
+I
2
, 其中I
1
=∫
Γ
φ(y)dsinπx+sinπxdφ(y)-d(2πy)=∫
Γ
d(φ(y)sinπx-2πy) =[φ(y)sinπx+2πy]|
A
B
=2π 为用格林公式求I
2
,添加辅助线[*].F与[*]围成区域D,并构成D的负向边界, [*] 于是 [*] 又[*]的方程:y=x,x∈[1,2],则 [*]=∫
1
2
-2πxdx=-πx
2
|
1
2
因此 I
2
=∫
Γ
(-2πy)dx=-4π-[*] =-4π+3π=-π. 故 I=I
1
+I
2
=π.
解析
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考研数学一
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