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[2007年] 在区间(0,1)中随机地取两个数,则两个数之差的绝对值小于1/2的概率为________.
[2007年] 在区间(0,1)中随机地取两个数,则两个数之差的绝对值小于1/2的概率为________.
admin
2019-04-15
50
问题
[2007年] 在区间(0,1)中随机地取两个数,则两个数之差的绝对值小于1/2的概率为________.
选项
答案
[*]
解析
解一 用几何型概率的计算公式求之.设(x,y)为所取的两个数,则样本空间为
Ω={(x,y)|0<x<1,0<y<1}.
记区域A={(x,y)|(x,y)∈Ω,|x-y|<1/2),则A的图形如图3.1.2.1中阴影部分所示.这是因为由|x-y|<1/2可得到
x-y<1/2 及 -(x-y)<1/2, 即 x-y>-1/2.
而由命题3.1.2.1知,x-y<1/2的图形是在直线x-y=1/2上方的图形,而x-y>-1/2的图形是在直线x-y=-1/2下方的图形,两者的交即为图3.1.2.1中的阴影部分所示,则
S
A
(A的面积)=1-2×(1/2)(1-1/2)
2
=3/4.
显然S
Ω
=1,故所求概率为
解二 如图3.1.2.2所示,把区间[0,1]放在数轴上,设随机变量ξ,η分别表示任取两点的坐标,这里所说的“任取”表示“随机地取",也表示“等可能地取”,因而ξ与η相互独立,且都在[0,1]上服从均匀分布,即
因ξ与η相互独立,故(ξ,η)的密度为
因此,
易求得S
D
1
=1/8=S
D
2
,故
注:命题3.1.2.1 (1)设事件A={(x,y)|ax+by<d,b>0)(y前面系数b的符号与y所满足的不等式的符号相反),则事件A的几何图形在直线ax+by=d的下方.
(2)设事件B={(x,y)|ax+by<d,b<0)(y前面系数b的符号与y所满足的不等式符号一致),则事件B的几何图形在直线ax+by=d的上方.
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考研数学三
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