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(2001年试题,七)设y=f(x)在(一1,1)内具有二阶连续导数且f’’(x)≠0,试证: 对(一1,1)内的任一点x≠0,存在唯一的θ(x)∈(0,1),使f(x)=f(0)+xf’(θ(x)x)成立;
(2001年试题,七)设y=f(x)在(一1,1)内具有二阶连续导数且f’’(x)≠0,试证: 对(一1,1)内的任一点x≠0,存在唯一的θ(x)∈(0,1),使f(x)=f(0)+xf’(θ(x)x)成立;
admin
2013-12-27
47
问题
(2001年试题,七)设y=f(x)在(一1,1)内具有二阶连续导数且f
’’
(x)≠0,试证:
对(一1,1)内的任一点x≠0,存在唯一的θ(x)∈(0,1),使f(x)=f(0)+xf
’
(θ(x)x)成立;
选项
答案
由题设,应用拉格朗日中值定理,有f(x)=f(0)+xf
’
(θ(x)x),0<θ(x)<1且x∈(一1,1).已知f
’’
(x)在(一1,1)内连续且f
’’
(x)≠0,因此f
’’
(x)>0或f
’’
(x)<0,相应地有f
’
(x)在(一1,1)内严格单调递增或严格单调递减,从而保证了θ(x)的唯一性.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/0354777K
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考研数学一
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