(2001年试题，七)设y=f(x)在(一1，1)内具有二阶连续导数且f’’(x)≠0，试证：对(一1，1)内的任一点x≠0，存在唯一的θ(x)∈(0，1)，使f(x)=f(0)+xf’(θ(x)x)成立；

admin2013-12-27 85

问题 (2001年试题，七)设y=f(x)在(一1，1)内具有二阶连续导数且f^’’(x)≠0，试证：
对(一1，1)内的任一点x≠0，存在唯一的θ(x)∈(0，1)，使f(x)=f(0)+xf^’(θ(x)x)成立；

选项

答案由题设，应用拉格朗日中值定理，有f(x)=f(0)+xf^’(θ(x)x)，0<θ(x)<1且x∈(一1，1)．已知f^’’(x)在(一1，1)内连续且f^’’(x)≠0，因此f^’’(x)>0或f^’’(x)<0，相应地有f^’(x)在(一1，1)内严格单调递增或严格单调递减，从而保证了θ(x)的唯一性．

解析

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考研数学一

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