2. 考研
  3. 已知向量组(Ⅰ)与向量组(Ⅱ)，若(Ⅰ)可由(Ⅱ)线性表示，且r(Ⅰ)=r(Ⅱ)=r．证明：(Ⅰ)与(Ⅱ)等价．

已知向量组(Ⅰ)与向量组(Ⅱ)，若(Ⅰ)可由(Ⅱ)线性表示，且r(Ⅰ)=r(Ⅱ)=r．证明：(Ⅰ)与(Ⅱ)等价．

admin2021-07-27  45
问题 已知向量组(Ⅰ)与向量组(Ⅱ)，若(Ⅰ)可由(Ⅱ)线性表示，且r(Ⅰ)=r(Ⅱ)=r．证明：(Ⅰ)与(Ⅱ)等价．
选项
答案设(Ⅰ)的一个极大线性无关组为ξ1，ξ2，…，ξr，(Ⅱ)的一个极大线性无关组为η1，η2，…，ηr．因为(Ⅰ)可由(Ⅱ)线性表示，即ξ1，ξ2，…，ξr可由η1，η2，…，ηr线性表示。于是r(ξ1，ξ2，…，ξr，η1，η2，…，ηr)=r(η1，η2，…，ηr)=r．又ξ1，ξ2，…，ξr线性无关，则ξ1，ξ2，…，ξr也可作为ξ1，ξ2，…，ξr，η1，η2，…，ηr的一个极大线性无关组，于是η1，η2，…，ηr也可由ξ1，ξ2，…，ξr线性表示，即(Ⅱ)也可由(Ⅰ)线性表示，得证．
解析
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考研数学二

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