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  3. 如果F(x)是f(x)的一个原函数，G(x)是1/f(x)的一个原函数，且F(x)G(x)=-1，f(0)=1，求f(x)

如果F(x)是f(x)的一个原函数，G(x)是1/f(x)的一个原函数，且F(x)G(x)=-1，f(0)=1，求f(x)

admin2021-02-25  55
问题 如果F(x)是f(x)的一个原函数，G(x)是1/f(x)的一个原函数，且F(x)G(x)=-1，f(0)=1，求f(x)
选项
答案由F(x)G(x)=-1，有G(x)=-1/F(x) 两端对x求导，有G’(x)=f’(x)/F2(x)． 又f’(x)=f(x)，G’(x)=1/f(x)，代入上式，有1/f(x)=f(x)/F2(x)，即f(x)=±F(x)，f’(x)=±f’(x)，亦即f(x)=±f’(x)，解得f(x)=Ce±x，由f(0)=1，有C=1，从而f(x)=e±x．
解析 本题是微分方程的初值问题，由已知条件知f’(x)=f(x)，G’(x)=1/f(x)，由关系式F(x)G(x)=-1，两端对x求导，得到f(x)所满足的微分方程，再求出满足初始条件f(0)=1的特解．
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考研数学二

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