如果F(x)是f(x)的一个原函数,G(x)是1/f(x)的一个原函数,且F(x)G(x)=-1,f(0)=1,求f(x)

admin2021-02-25  36

问题 如果F(x)是f(x)的一个原函数,G(x)是1/f(x)的一个原函数,且F(x)G(x)=-1,f(0)=1,求f(x)

选项

答案由F(x)G(x)=-1,有G(x)=-1/F(x) 两端对x求导,有G’(x)=f’(x)/F2(x). 又f’(x)=f(x),G’(x)=1/f(x),代入上式,有1/f(x)=f(x)/F2(x),即f(x)=±F(x),f’(x)=±f’(x),亦即f(x)=±f’(x),解得f(x)=Ce±x,由f(0)=1,有C=1,从而f(x)=e±x

解析 本题是微分方程的初值问题,由已知条件知f’(x)=f(x),G’(x)=1/f(x),由关系式F(x)G(x)=-1,两端对x求导,得到f(x)所满足的微分方程,再求出满足初始条件f(0)=1的特解.
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