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已知二次型f(χ1,χ2,…,χn)=(χ1+a1χ2)+(χ+aχ)2+…+(χn+anχ1)2.a1,a2,…,an满足什么条件时f(χ1,χ2,…,χn)正定?
已知二次型f(χ1,χ2,…,χn)=(χ1+a1χ2)+(χ+aχ)2+…+(χn+anχ1)2.a1,a2,…,an满足什么条件时f(χ1,χ2,…,χn)正定?
admin
2019-04-22
82
问题
已知二次型f(χ
1
,χ
2
,…,χ
n
)=(χ
1
+a
1
χ
2
)+(χ+aχ)
2
+…+(χ
n
+a
n
χ
1
)
2
.a
1
,a
2
,…,a
n
满足什么条件时f(χ
1
,χ
2
,…,χ
n
)正定?
选项
答案
记y
1
=χ
1
+a
1
χ
2
,y
2
=χ
2
+a
2
χ
3
,…,y
n
=χ
n
+a
n
χ
1
,则 [*] 简记为Y=AX. 则f(χ
1
,χ
2
,…,χ
n
)=Y
T
Y=X
T
A
T
AX.于是,实对称矩阵A
T
A就是f(χ
1
,χ
2
,…,χ
n
)的矩阵.从而f正定就是A
T
A正定. A
T
A正定的充要条件是A可逆.计算出|A|=1+(-1)
n-1
a
1
a
2
…a
n
.于是,f正定的充要条件为a
1
a
2
…a
n
≠(-1)
n
.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/03V4777K
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考研数学二
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