已知二次型f(χ1，χ2，…，χn)＝(χ1＋a1χ2)＋(χ＋aχ)2＋…＋(χn＋anχ1)2．a1，a2，…，an满足什么条件时f(χ1，χ2，…，χn)正定?

admin2019-04-22 58

问题已知二次型f(χ₁，χ₂，…，χ_n)＝(χ₁＋a₁χ₂)＋(χ＋aχ)²＋…＋(χ_n＋a_nχ₁)²．a₁，a₂，…，a_n满足什么条件时f(χ₁，χ₂，…，χ_n)正定?

选项

答案记y₁＝χ₁＋a₁χ₂，y₂＝χ₂＋a₂χ₃，…，y_n＝χ_n＋a_nχ₁，则 [*] 简记为Y＝AX．则f(χ₁，χ₂，…，χ_n)＝Y^TY＝X^TA^TAX．于是，实对称矩阵A^TA就是f(χ₁，χ₂，…，χ_n)的矩阵．从而f正定就是A^TA正定． A^TA正定的充要条件是A可逆．计算出｜A｜＝1＋(－1)^n-1a₁a₂…a_n．于是，f正定的充要条件为a₁a₂…a_n≠(－1)ⁿ．

解析

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考研数学二

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设f(χ)在[a，b]上二阶可导，且f〞(χ)＞0，取χi∈[a，b](i＝1，2，…，n)及ki＞0(i＝1，2，…，n)且满足k1＋k2＋…＋kn＝1．证明：f(k1χ1＋k2χ2＋…＋knχn)≤k1f(χ1)＋k2f(χ2)＋…＋knf(χn)．
求曲线y＝χ2－2χ、y＝0、χ＝1、χ＝3所围成区域的面积S，并求该区域绕y轴旋转一周所得旋转体的体积V．
求不定积分∫χ3dχ．
设抛物线y＝aχ2＋bχ＋c(a＜0)满足：(1)过点(0，0)及(1，2)；(2)抛物线y＝aχ2＋bχ＋c与抛物线y＝－χ2＋2χ所围图形的面积最小，求a，b，c的值．
f(χ1，χ2，χ3，χ4)＝XTAX的正惯性指数是2，且A2＝2A＝O，该二次型的规范形为_______．
求极限
设D1是由抛物线y＝2x2和直线x＝a，x＝2及y＝0所围成的平面区域；D2是由抛物线y＝2x2和直线y＝0，x＝a所围成的平面区域，其中0＜a＜2．(1)试求D1绕x轴旋转而成的旋转体的体积V1；D2绕y轴旋转而成的旋转体的体积V2；(2)问
利用洛必达法则求下列极限：
设f(x)=3x2+x2｜x｜，则使f(n)(0)存在的最高阶数n为()

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根据以下表格。回答121～125题。总体上说，在我国的各IT分行业中，2004年外资企业控制程度较低的是()。
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