设f(t)连续并满足f(t)=cos2t+∫0tf(s)sinsds，求f(t)．

admin2018-11-21 76

问题设f(t)连续并满足f(t)=cos2t+∫₀^tf(s)sinsds，求f(t)．

选项

答案因f(t)连续 → f(s)sinsds可导→f(t)可导．于是，将题设等式两边求导可得 f’(t)=一2sin2t+f(t)sint，即f’(t)一f(t)sint=一2sin2t，又方程中令t=0得f(0)=1．这是一阶线性微分方程的初值问题．将方程两边乘μ=e^-∫sintdt=e^cost可得 [e^costf(t)]’=一4sintcoste^cost．积分得 e^costf(t)=4∫costd(e^cost)=4(cost一1)e^cost+C．由f(0)=1得C=e．因此，f(t)=e^1—cost+4(cost—1)．

解析

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考研数学一

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求cosx的带皮亚诺余项的三阶麦克劳林公式．
求下列方程的通解：(Ⅰ)y′=[sin(lnx)+cos(lnx)+a]y；(Ⅱ)xy′=+y．
设A=(Ⅰ)求满足Aξ2=ξ1，A2ξ3=ξ2的所有向量ξ2，ξ3；(Ⅱ)对(Ⅰ)中任意向量ξ2，ξ3，证明ξ1，ξ2，ξ3线性无关．
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设y=f(x)二阶可导，且f′(x)＞0，f″(x)＜0，令△y=f(x+△x)－f(x)，当△x＜0时，则()．
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