设A为m×n矩阵，B为n×m矩阵，且m＞n，则必有 ( )

admin2016-06-25 29

问题设A为m×n矩阵，B为n×m矩阵，且m＞n，则必有 ( )

选项 A、｜AB｜=0
B、｜BA｜=0
C、｜AB｜=｜BA｜
D、｜｜BA｜BA｜=｜BA｜｜BA｜

答案A

解析由于m＞n，则有r(AB)≤r(A)≤n＜m，可知矩阵AB不满秩，因此(A)正确．由于BA是n阶矩阵，是否满秩无法确定，故不一定有｜BA｜=0，故(B)错误．
由于A，B不为方阵，因此没有等式｜AB｜=｜A｜｜B｜=｜BA｜．事实上，由上面的讨论过程可知，当BA满秩时，有｜AB｜=0≠｜BA｜，故(C)不正确．
｜｜BA｜BA｜=｜BA｜ⁿ｜BA｜=｜BA｜ⁿ⁺¹，可知，等式｜｜BA｜BA｜=｜BA｜｜BA｜也不一定成立，故(D)错误．
综上，唯一正确的选项是(A)．

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