设函数f(x)连续,下列变上限积分函数中,必为偶函数的是( ).

admin2022-08-19  44

问题 设函数f(x)连续,下列变上限积分函数中,必为偶函数的是(          ).

选项 A、∫0xt[f(t)-f(-t)]dt
B、∫0xt[f(t)+f(-t)]dt
C、∫0xf(t2)dt
D、∫0xf2(t)dt

答案B

解析 因为t[f(t)-f(-t)]为偶函数,所以∫0xt[f(t)-f(-t)]dt为奇函数,(A)不对;
因为f(t2)为偶函数,所以∫0xf(t2)dt为奇函数,(C)不对;
因为不确定f2(t)的奇偶性,所以(D)不对;
令F(x)=∫0xt[f(t)+f(-t)]dt,
F(-x)=∫0-xt[f(t)+f(-t)]dt=∫0x(-u)[f(u)+f(-u)](-du)=F(x),选(B).
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