设函数f(x)连续，下列变上限积分函数中，必为偶函数的是( ).

admin2022-08-19 42

问题设函数f(x)连续，下列变上限积分函数中，必为偶函数的是( ).

选项 A、∫₀^xt[f(t)-f(-t)]dt
B、∫₀^xt[f(t)+f(-t)]dt
C、∫₀^xf(t²)dt
D、∫₀^xf²(t)dt

答案B

解析因为t[f(t)-f(-t)]为偶函数，所以∫₀^xt[f(t)-f(-t)]dt为奇函数，(A)不对；
因为f(t²)为偶函数，所以∫₀^xf(t²)dt为奇函数，(C)不对；
因为不确定f²(t)的奇偶性，所以(D)不对；
令F(x)=∫₀^xt[f(t)+f(-t)]dt，
F(-x)=∫₀^-xt[f(t)+f(-t)]dt=∫₀^x(-u)[f(u)+f(-u)](-du)=F(x)，选(B).

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