求方程karctanx—x=0不同实根的个数,其中k为参数.

admin2015-09-10  35

问题 求方程karctanx—x=0不同实根的个数,其中k为参数.

选项

答案令f(x)=karctanx一x,则f(x)是(一∞,+∞)上的奇函数,且 [*] 当k一1≤0即k≤1时,f’(x)<0(x≠0),f(x)在(一∞,+∞)内单调减少,方程f(x)=0只有一个实根x=0. 当k一1>0即k>1时,在[*]内,f’(x)>0,f(x)单调增加;在[*]内,f’(x)<0,f(x)单调减少,所以[*]是f(x)在(0,+∞)内的最大值. 由于f(0)=0,所以[*]>0. 又因为[*].所以存在ξ∈[*],使得f(ξ)=0. 由f(x)是奇函数及其单调性可知:当k>1时,方程f(x)=0有且仅有三个不同实根x=一ξ,x=0,x=ξ.

解析
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