2. 考研
  3. 设A为n阶实对称矩阵，秩(A)=n，Aij是A=(aij)n×n中元素aij的代数余子式(i，j=1，2，…，n)，二次型f(x1，x2，…，xn)=xixj． 二次型g(X)=XTAX与f(X)的规范形是否相同?说明理由．

设A为n阶实对称矩阵，秩(A)=n，Aij是A=(aij)n×n中元素aij的代数余子式(i，j=1，2，…，n)，二次型f(x1，x2，…，xn)=xixj． 二次型g(X)=XTAX与f(X)的规范形是否相同?说明理由．

admin2019-07-16  160
问题 设A为n阶实对称矩阵，秩(A)=n，Aij是A=(aij)n×n中元素aij的代数余子式(i，j=1，2，…，n)，二次型f(x1，x2，…，xn)=xixj．
二次型g(X)=XTAX与f(X)的规范形是否相同?说明理由．
选项
答案1 因为 (A－1)TAA－1=(AT)－1E=A－1 所以A与A－1合同，于是g(X)=XTAX与f(X)有相同的规范形． 2 对二次型g(X)=XTAX作可逆线性变换X=A－1Y，其中y=(y1，y2，…，yn)T，则g(X)=XTAX=(A－1Y)TA(A－1Y)=YT(A－1)TAA－1Y=YTA－1y，由此得知A与A－1合同，于是f(X)与g(X)必有相同的规范形． 解3设A的全部特征值为λ1，λ2，…，λn，则A－1的全部特征值为1／λ1，1／λ2，…，1／λn． 可见A与A－1的特征值中为正及为负的个数分别相同，因而二次型g(X)=XTAX与二次型f(X)=XTA－1X的标准形中系数为正和系数为负的项数分别相同，从而知g(X)与f(X)有相同的规范形．
解析
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考研数学三

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