设函数f(x)具有任意阶导数，且fˊ(x)=[f(x)]2，则f(n)(x)= ( )

admin2019-03-11 54

问题设函数f(x)具有任意阶导数，且fˊ(x)=[f(x)]²，则f⁽ⁿ⁾(x)= ( )

选项 A、n[f(x)]ⁿ⁺¹
B、n！[f(x)]ⁿ⁺¹
C、(n+1)[f(x)]ⁿ⁺¹
D、(n+1)！[f(x)]ⁿ⁺¹

答案B

解析由fˊ(x)=[f(x)]²得
fˊˊ(x)=[fˊ(x)]ˊ=[(f(x))²]ˊ=2f(x)fˊ(x)=2[f(x)]³，
这样n=1，2时．f⁽ⁿ⁾(x)=n！[f(x)]ⁿ⁺¹成立．假设n=k时，f^(k)(x)=k！[f(x)]^k+1．
则当n=k+1时，有f^(k+1)(x)=[k！(f(x))^k+1]ˊ=(k+1)！[f(x)]^kfˊ(x)=(k+1)！[f(x)]^k+2，
由数学归纳法可知，结论成立，故选(B)．

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