2. 考研
  3. 设函数f(x)具有任意阶导数，且fˊ(x)=[f(x)]2，则f(n)(x)= ( )

设函数f(x)具有任意阶导数，且fˊ(x)=[f(x)]2，则f(n)(x)= ( )

admin2019-03-11  43
问题 设函数f(x)具有任意阶导数，且fˊ(x)=[f(x)]2，则f(n)(x)=    (    )
选项 A、n[f(x)]n+1
B、n！[f(x)]n+1
C、(n+1)[f(x)]n+1
D、(n+1)！[f(x)]n+1
答案B
解析 由fˊ(x)=[f(x)]2得
fˊˊ(x)=[fˊ(x)]ˊ=[(f(x))2]ˊ=2f(x)fˊ(x)=2[f(x)]3，
这样n=1，2时．f(n)(x)=n！[f(x)]n+1成立．假设n=k时，f(k)(x)=k！[f(x)]k+1．
则当n=k+1时，有f(k+1)(x)=[k！(f(x))k+1]ˊ=(k+1)！[f(x)]kfˊ(x)=(k+1)！[f(x)]k+2，
由数学归纳法可知，结论成立，故选(B)．
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考研数学三

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