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设A是秩为3的5×4矩阵,α1,α2,α3是非齐次线性方程组Ax=b的三个不同的解,如果α1+α2+2α3=(2,0,0,0)T,3α1+α2=(2,4,6,8)T,则方程组Ax=b的通解是_____
设A是秩为3的5×4矩阵,α1,α2,α3是非齐次线性方程组Ax=b的三个不同的解,如果α1+α2+2α3=(2,0,0,0)T,3α1+α2=(2,4,6,8)T,则方程组Ax=b的通解是_____
admin
2017-10-17
53
问题
设A是秩为3的5×4矩阵,α
1
,α
2
,α
3
是非齐次线性方程组Ax=b的三个不同的解,如果α
1
+α
2
+2α
3
=(2,0,0,0)
T
,3α
1
+α
2
=(2,4,6,8)
T
,则方程组Ax=b的通解是_____
选项
答案
([*],0,0,0)
T
+k(0,2,3,4)
T
解析
由于r(A)=3,所以齐次方程组Ax=0的基础解系共有4-r(A)=4-3=1个向量,又因为
(α
1
+α
2
+α
3
)-(3α
1
+α
2
)=2(α
3
-α
1
)=(0,-4,-6,-8)
T
是Ax=0的解,因此其基础解系可以为(0,2,3,4)
t
,由
A(α
1
+α
2
+α
3
)=Aα
1
+Aα
2
+2Aα
3
=4b,可知
(α
1
+α
2
+α
3
)是方程组Ax=b的一个解,因此根据非齐次线性方程组的解的结构可知,其通解是(
,0,0,0)
T
+k(0,2,3,4)
T
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考研数学三
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