二次型f(x1，x2，x3)=xTAx=2x22+2x32+4x1x2-4x1x3+8x2x3的矩阵A=_，规范形是．

admin2017-10-17 43

问题二次型f(x₁，x₂，x₃)=x^TAx=2x₂²+2x₃²+4x₁x₂-4x₁x₃+8x₂x₃的矩阵A=_______，规范形是______．

选项

答案2，6，-4；x₁²+x₂²-x₃²

解析按定义，二次型矩阵A=

．由特征多项式｜λE-A｜=

=(λ-6)(λ-2)(λ+4)，知矩阵A的特征值是：2，6，-4．
故正交变换下二次型的标准形是2y²₁+6y²₂-4y²₃．所以规范形是x²₁+x²₂-x²₃．
或，由配方法，有
f=2[x₂²+2x₂(x₁+2x₃)+(x₁+2x₃)²]+2x₃²-4x₁x₃-2(x₁+2x₃)²
=2(x₂+x₁+2x₃)²-2x₁²-12x₁x₃-6x₃²
=2(x₂+x₁+2x₃)²-2(x₁²+6x₁x₃+9x₃²)+12x₃²
=2(x₂+x₁+2x₃)²-2(x₁+3x₃)²+12x₃²，
亦知规范形是x₁²+x₂²-x₃²．

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